Variation der Lagrange-Dichte LL\mathcal{L} bzgl. xμxμx^{\mu}

Es gibt zwei Arten von Ableitungen, die wir unterscheiden sollten:

$$\frac{\mathrm d\mathcal L}{\mathrm dx}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\big[\mathcal L(\phi(x+h),\phi'(x+h),x+h)-\mathcal L(\phi(x),\phi'(x),x)\big]\tag{1}$$ Und $$\frac{\partial\mathcal L}{\partial x}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\big[\mathcal L(\phi(x),\phi'(x),x+h)-\mathcal L(\phi(x),\phi'(x),x)\big]\tag{2}$$

Im Allgemeinen ist es$(2)$was null ist, während es ist$(1)$die im Satz von Noether verwendet wird (um beispielsweise den Energie-Impuls-Tensor abzuleiten).

Zum Beispiel liest der Klein-Gordon-Lagrangian

$$\mathcal L\sim (\partial\phi)^2-m^2\phi^2$$ was nicht explizit davon abhängt $x$. Der $(2)$Ableitung ist eindeutig Null, d.h. $\partial L=0$. Andererseits, bei einer Übersetzung, $$\mathcal L\ \big|_{x\to x+a}=\mathcal L\ \big|_x+a\ \mathrm d\mathcal L\ \big|_x+\cdots$$ Wo $\mathrm d\mathcal L\neq 0$Weil $\mathcal L$hängt implizit von der Position durch die Felder ab. Es ist $\mathrm d\mathcal L$was Sie in der Definition haben von, sagen wir, $T^{\mu\nu}$.

Der Punkt ist, dass man zwischen einer totalen Raumzeitableitung unterscheiden sollte

$$\frac{d}{dx^{\mu}}~=~ \frac{\partial }{\partial x^{\mu}}+ \phi_{,\mu} \frac{\partial }{\partial \phi}+ \phi_{,\mu\nu} \frac{\partial }{\partial \phi_{,\nu}}+\ldots \tag{1}$$

(wobei Ellipse Beiträge im Falle höherer Raum-Zeit-Ableitungen bezeichnet) und eine explizite Raum-Zeit-Ableitung

$$\frac{\partial }{\partial x^{\mu}}.\tag{2}$$

Anmerkung: Wie immer: Verschiedene Autoren verwenden unterschiedliche Notationen für die beiden Arten von Raumzeit-Ableitungen (1) & (2). B. Greiner, Bjorken & Drell, Ryder usw. verwenden$\frac{\partial }{\partial x^{\mu}}\equiv\partial_{\mu}$um eine totale Raumzeitableitung zu bezeichnen.

Weitere Informationen zur Variationsrechnung finden Sie zB auch in diesem Phys.SE-Beitrag.