Wie finde ich die Funktionsableitung (δ/δϕ)(∂μϕ)(δ/δϕ)(∂μϕ)(\delta/\delta \phi) (\partial_\mu \phi)?

Der Ausdruck$\frac{\delta \partial_\mu\phi(y)}{\delta \phi(y)}$ist mathematisch bedeutungslos .

Per Definition ist eine Funktion gegeben$F$Zuordnen von Realzahlen (oder allgemeiner von komplexen Zahlen)$F[\phi]$um Funktionen zu glätten$\phi$, sagen wir, dass die Verteilung $\frac{\delta F}{\delta \phi(x)}$ist die funktionelle Ableitung von$F$, Wenn

Im betrachteten Fall muss man die funktionale Ableitung der Funktion berechnen$F$assoziieren$\partial_\mu \phi(y)$Zu$\phi$, dh,

In Summe,$\frac{\delta \partial_\mu\phi(y)}{\delta \phi(y)}$ist nicht definiert, da der Wert an einem festen Punkt einer nicht regulären Verteilung keine Bedeutung hat.

1. Wie in der Antwort von Valter Moretti zu Recht darauf hingewiesen wird, ist es mathematisch schlecht definiert, (die traditionelle Definition von) der funktionalen / variierenden Ableitung (FD) anzuwenden.

   $$\frac{\delta {\cal L}(x)}{\delta\phi^{\alpha} (x)} \tag{1}$$ zum selben Raumzeitpunkt.

2. Es ist jedoch sehr üblich, ein FD mit „gleicher Raumzeit“ als einzuführen

   $$\frac{\delta {\cal L}(x)}{\delta\phi^{\alpha} (x)}~:=~ \frac{\partial{\cal L}(x) }{\partial\phi^{\alpha} (x)} - d_{\mu} \left(\frac{\partial{\cal L}(x) }{\partial\partial_{\mu}\phi^{\alpha} (x)} \right)+\ldots. \tag{2}$$ was seinen Variationsursprung verschleiert / verrät, aber oft aus Gründen der Notation verwendet wird. (Die Ellipse$\ldots$in Gl. (2) bezeichnet mögliche Beiträge von Raumzeit-Derivaten höherer Ordnung.) Siehe zB this , this , & this Phys.SE posts.

   Wenn wir den Ausdruck von OP über Gl. (2), dann die Lagrange-Dichte von OP${\cal L}=\partial_{\mu} \phi$ist eine totale Raum-Zeit-Ableitung, so dass OPs 'gleiche Raumzeit' FD verschwindet, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.