Warum ist im Wirkungsprinzip die Taylorsche Reihe auf die erste Ordnung beschränkt?

Question

Warum ist im Wirkungsprinzip die Taylorsche Reihe auf die erste Ordnung beschränkt?

Physik
Annäherungen
Differenzierung
lagrangescher Formalismus
Variationsrechnung
Variationsprinzip

Joan J. Cáceres

Für das Hamilton-Prinzip gilt:

δ S = \int_{T_{1}}^{T_{2}} L (Q + δ Q, \dot{Q} + δ \dot{Q}, T) D T - \int_{T_{1}}^{T_{2}} L (Q, \dot{Q}, T) D T = 0.

$\delta s =\int_{t_1}^{t_2}L(\mathbf {q+\delta q},\mathbf {\dot q+\delta \dot q},t) dt-\int_{t_1}^{t_2}L(\mathbf {q},\mathbf {\dot q},t) dt=0.\\$

In den Lehrbüchern unter Verwendung der Taylor-Reihe:

L (Q + δ Q, \dot{Q} + δ \dot{Q}, T) = L (Q, \dot{Q}, T) + \frac{\partial L (Q, \dot{Q}, T)}{\partial Q} \bar{δ} Q (T) + \frac{\partial L (Q, \dot{Q}, T)}{\partial \dot{Q}} \bar{δ} \dot{Q} (T) + \frac{\partial}{\partial Q} (\frac{\partial L (Q, \dot{Q}, T)}{\partial \dot{Q}} \bar{δ} \dot{Q}) \bar{δ} Q + . . .

$L(\mathbf {q+\delta q},\mathbf {\dot q+\delta \dot q},t) =L(\mathbf {q},\mathbf {\dot q},t)+\frac{\partial L(\mathbf {q},\mathbf {\dot q},t)}{\partial \mathbf q} \bar \delta \mathbf q(t) +\frac{\partial L(\mathbf {q},\mathbf {\dot q},t)}{\partial \mathbf {\dot q}} \bar \delta \mathbf {\dot q(t)}+\frac{\partial}{\partial \mathbf q} (\frac{\partial L(\mathbf {q},\mathbf {\dot q},t)}{\partial \mathbf {\dot q}}\bar \delta \dot q)\bar \delta q + ...$

Aber warum wird der Rest der Taylor-Reihe weggelassen? Ich denke, es wird eine Menge Fehler in der Ableitung verbreiten ...

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Die Variationen

δ q

$\delta q$ muss einen Koeffizienten multiplizieren

ϵ

$\epsilon$ dass Sie schließlich das inkrementelle Limit übernehmen werden. Ableitungen höherer Ordnung werden immer noch den multiplikativen Faktor nach dem inkrementellen Verhältnis darstellen und werden daher sowieso verschwinden.

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Warum ist im Wirkungsprinzip die Taylorsche Reihe auf die erste Ordnung beschränkt?

Die Variationen $\delta q$ muss einen Koeffizienten multiplizieren $\epsilon$ dass Sie schließlich das inkrementelle Limit übernehmen werden. Ableitungen höherer Ordnung werden immer noch den multiplikativen Faktor nach dem inkrementellen Verhältnis darstellen und werden daher sowieso verschwinden.

ZeroTheHero · Answer 1

Die Euler-Lagrange-Gleichung ist eine Differentialgleichung, die sich aus der Suche nach dem Extremum einer Funktion ergibt: Dieses Extremum ist nur durch die erste Variation gegeben.

Dies ist ähnlich der Bedingung zum Auffinden eines Punktes, an dem sich eine Funktion befindet $f$ ist extremum: die Bedingung $df/dx=0$ ist nur auf der ersten Ableitung.

In beiden Fällen versucht man nicht, sich anzunähern $L$ oder $f$ durch eine Reihe, sondern extrahieren Sie aus dem ersten Term in der Reihe entweder eine Differentialgleichung, die durch eine Funktion erfüllt werden muss, oder eine algebraische Gleichung, die durch einen Punkt erfüllt werden muss.

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Außerdem kann die Ordnung der resultierenden Euler-Lagrange-Gleichung größer als 1 sein, selbst wenn man nur die erste Variation betrachtet. Zum Beispiel in 1d mit einem Lagrange-Operator des Typs $L=L(q,\dot{q},\ddot{q},t)$ , ist die resultierende EL-Gleichung von zweiter Ordnung:

\frac{\partial L}{\partial Q} - \frac{D}{D T} \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}} + \frac{D^{2}}{D T^{2}} \frac{\partial L}{\partial \ddot{Q}} = 0.

$\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}+ \frac{d^2}{dt^2}\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}}=0.$

Schließlich garantiert die erste Variation (wie die erste Ableitung) nur ein Extremum. Um zu überprüfen, ob dies ein lokales Maximum oder Minimum ist, sollte man die zweite Variation verwenden (wie die zweite Ableitung), aber sie ist oft technisch kompliziert und unnötig: Man kann einfach überprüfen, ob eine andere Konstruktion eine größere oder kleinere Aktion oder ein kürzeres oder ergibt längerer Weg.

Dies ist nicht der Grund. Der Grund sind die Variationen $\delta q$ werden mit einem Koeffizienten multipliziert, der anschließend auf Null gesetzt wird. Alle Terme in Ableitungen höherer Ordnung stellen nach dem Limitverfahren noch den Koeffizienten dar und verschwinden daher.
@GennaroTedesco Was mit einem Koeffizienten multipliziert wird, musste ich im oben gezeigten Fall keinen Koeffizienten deklarieren, als der allgemein deklariert wird $\epsilon$
@GennaroTedesco Dies ist äquivalent, da der verbleibende Koeffizient nur proportional zur ersten Variation (oder der Definition der ersten Ableitung) ist.
@JoanJ.Cáceres Das ist genau der Punkt. Sie wollen definieren $\delta L$ , was per Definition die Grenze des inkrementellen Verhältnisses ist $L(q+ \epsilon) - L(q)$ über $\epsilon$ . Ihre Notation ist nur eine Kurznotation für das Ganze.

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Joan J. Cáceres

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Joan J. Cáceres

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