Ableitung der Beziehung zwischen Austrittsarbeit und potentieller Energie

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Ableitung der Beziehung zwischen Austrittsarbeit und potentieller Energie

Energie
Physik
potenzielle Energie
lagrangescher Formalismus
Variationsrechnung
Variationsprinzip

Mut

Ich lese "Die Variationsprinzipien der Mechanik - Lanczos",

Der Autor erwähnt eine Beziehung zwischen Arbeit und Funktion $U(q_1,q_2,\cdots,q_n,\dot q_1,\dot q_2,\cdots,\dot q_n)$ und die potentielle Energie $V(q_1,q_2,\cdots,q_n)$

\begin{matrix} (1) & v = \sum_{ich = 0}^{N} \frac{\partial U}{\partial {\dot{Q}}_{ich}} {\dot{Q}}_{ich} - U \end{matrix}

$V=\sum_{i=0}^n \frac{\partial U}{\partial \dot q_i}\dot q_i-U \tag{1}$

$q_i$ s sind die verallgemeinerten Koordinaten

Die Austrittsarbeit und die generalisierte Kraft $(Q_j)$ verwandt sind als

\begin{matrix} (2) & Q_{J} = \frac{\partial U}{\partial Q_{J}} - \frac{D}{D T} \frac{\partial U}{\partial {\dot{Q}}_{J}} \end{matrix}

$Q_j=\frac{\partial U}{\partial q_j}-\frac{d}{dt}\frac{\partial U}{\partial \dot q_j} \tag{2}$

Blick auf die Gleichung $(1)$ Das kann ich nur sagen $V$ ist die Legendre-Transformation von $U$ aber ich bin nicht in der Lage, es zu beweisen, Die Arbeitsfunktion, wie wir sehen können, hängt auch davon ab $\dot q_i$

Und wir haben normalerweise geschwindigkeitsunabhängige Arbeitsfunktionen , in diesem Fall Gleichung $(1)$ reduziert zu $V=-U$ , und Gleichung $(2)$ wird

Q_{ich} = - \frac{\partial v}{\partial Q_{ich}}

$Q_i=-\frac{\partial V}{\partial q_i}$

Das ist die bekannte Gleichung für konservative Kräfte

Ich habe im Internet gesucht, aber nichts in der Nähe davon gefunden. Kann mir jemand einen Hinweis geben, wie ich das herleiten kann? Jede Hilfe ist willkommen

Antworten (1)

Ableitung der Beziehung zwischen Austrittsarbeit und potentieller Energie

QMechaniker · Answer 1

I) Vergessen Sie Lanczos' Buch und Terminologie für einen Moment. Erinnere dich daran

der Lagrange
$\begin{matrix} (1) & L (Q, v, T) = T (Q, v, T) - U (Q, v, T) \end{matrix}$ $\tag{1}L(q,v,t)~=~T(q,v,t)-U(q,v,t)$ hat normalerweise die Form kinetischer Term minus potentieller Term, wobei $U(q,v,t)$ ist das verallgemeinerte (möglicherweise geschwindigkeitsabhängige) Potential.
Die Lagrange-Energiefunktion wird normalerweise definiert als $^1$
$\begin{matrix} (2) & H_{L} (Q, v, T) := v \frac{\partial L (Q, v, T)}{\partial v} - L (Q, v, T) . \end{matrix}$ $\tag{2}h_L(q,v,t)~:=~ v\frac{\partial L(q,v,t)}{\partial v}-L(q,v,t).$
wenn der Lagrange $L$ hängt nicht explizit von der Zeit ab $t$ , dann die Energie $h$ wird auf der Schale konserviert.

II) Lassen Sie uns nun definieren

\begin{matrix} (3) & H_{T} (Q, v, T) := v \frac{\partial T (Q, v, T)}{\partial v} - T (Q, v, T), \end{matrix}

$\tag{3} h_T(q,v,t)~:=~ v\frac{\partial T(q,v,t)}{\partial v}-T(q,v,t),$ Und

\begin{matrix} (4) & H_{U} (Q, v, T) := v \frac{\partial U (Q, v, T)}{\partial v} - U (Q, v, T) . \end{matrix}

$\tag{4} h_U(q,v,t)~:=~ v\frac{\partial U(q,v,t)}{\partial v}-U(q,v,t).$ Dann

\begin{matrix} (5) & H_{L} (Q, v, T) = H_{T} (Q, v, T) - H_{U} (Q, v, T) . \end{matrix}

$\tag{5} h_L(q,v,t)~=~h_T(q,v,t)-h_U(q,v,t).$ Beachten Sie, dass (3) nur der kinetische Term ist

h_{T} = T

$h_T=T$ Wenn

T

$T$ ist quadratisch in den Geschwindigkeiten

v

$v$ .

III) Kehren wir nun zur Notation von Lanczos zurück.

Was Lanczos die Austrittsarbeit nennt, ist minus dem obigen verallgemeinerten Potential $U$ .
Was Lanczos die potentielle Energie nennt , ist
$\begin{matrix} (6) & v (Q, v, T) := - H_{U} (Q, v, T) . \end{matrix}$ $\tag{6} V(q,v,t)~:=~-h_U(q,v,t).$

Beachten Sie, dass Gl. (6) ist keine Legendre-Transformation einiger Variablen. Lanczos macht diese Definition (6), damit er sagen kann, dass die Gesamtenergie (2) die Summe ist $h_L=T+V$ der kinetischen und der potentiellen Energie, wenn $T$ ist quadratisch in den Geschwindigkeiten $v$ .

Verweise:

C. Lanczos, Die Variationsprinzipien der Mechanik, 1949.

--

$^1$ Die Energiefunktion $h_L(q,v,t)$ im Lagrange-Formalismus dem Hamilton-Operator entspricht $H(q,p,t)$ im Hamiltonschen Formalismus . Siehe auch zB diesen Phys.SE Beitrag.

Danke für die Antwort. ist nicht die Lagrange-Energiefunktion (Gl $(2)$ ) der Hamiltonian? ist das nicht die lengendre-Transformation von $L$ ?

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Mut

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