Woher kommt die Definition für Energie in PDE in der Physik?

Wir haben Energie im Zusammenhang mit der Wellengleichung in meiner PDE-Klasse als sein definiert

E ( T ) = ∫ R N ( u T 2 + [ ∇ X → u ] 2 ) D N X →
Wo u erfüllt die Wellengleichung
u T T − Δ u = 0
Es ist eine konservierte Größe im System, aber ich frage mich, ob es eine bessere physikalische Erklärung für diese Definition von Energie gibt.

Es ist ziemlich klar, dass die u T 2 Der Begriff stellt eine kinetische Energie dar, aber ich habe keine gute Intuition dafür, warum der andere Begriff potentielle Energie sein sollte. Ich weiß, das ist systemabhängig, aber warum macht es hier Sinn?

Antworten (1)

Nun, bei einer beliebigen PDE existiert möglicherweise kein Energiefunktional. Aber wenn es sie gibt, passt die Konstruktion normalerweise in die folgende Vorlage:

  1. Finden Sie eine Lagrange-Dichte L für die PDE. Das bedeutet, dass die Euler-Lagrange-Gleichung für L sollte die PDE reproduzieren. Im Fall von OP die Lagrange-Dichte L ist von der Form L = 1 2 u ˙ 2 − v ( u , ∇ u ) , Wo v ( u , ∇ u ) ist die potentielle Energiedichte. Hier u ˙ Und ∇ u bezeichnen die zeitlichen bzw. räumlichen Ableitungen.

  2. Die Lagrange-Dichte L hängt normalerweise nicht explizit von ab T . Der Satz von Noether garantiert dann, dass es eine Erhaltungsgröße gibt. Die Null-Komponente

    J 0   =   ( u ˙ ∂ ∂ u ˙ − 1 ) L
    des Noetherstroms ist die Energiedichte. Die entsprechende Noether-Ladung Q = ∫ D N X   J 0 ist das gesuchte Energiefunktional.

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