Eikonal-Näherung für Wellenoptik. Warum dem Einheitsvektor parallel zum Poynting-Vektor folgen?

Die Beschreibung des Übergangs von der Wellenoptik zur geometrischen Optik behauptet, dass Lichtstrahlen die Integralkurven eines bestimmten Vektorfeldes (der auf 1 normierten Poynting-Vektorrichtung) sind. Hier sind die Details, könnten Sie die Lücken ausfüllen:

Die Wellenlänge λ ist viel kleiner als alle anderen charakteristischen Längen.

  1. Die Einstellung ist ein "schönes" Medium (mit räumlich variierendem Brechungsindex N ( X ) ), durch die sich eine "fast ebene" Welle ausbreitet. Die Welle (wenn sie linear polarisiert ist) erweist sich als darstellbar durch E → ( X , T ) = E → 0 exp ⁡ ( ich ( χ ( X ) − ω T ) ) Und B → ( X , T ) = B → 0 exp ⁡ ( ich ( χ ( X ) − ω T ) ) mit konstant E → 0 Und B → 0 .

  2. Die Maxwell-Gleichungen implizieren ( ∇ → χ ) 2 = N 2 ω 2 C 2 und ein zeitlich gemittelter Poynting-Vektor S → = C N S → , Wo S → ist der Einheitsvektor S → = ∇ → χ N ω / C .

  3. Die Integralkurven des Feldes der Einheitsvektoren S → sind die Lichtstrahlen.

  4. Das Durcharbeiten der Gleichungen ergibt dazu für einen Strahlengang X ( τ ) (Wo τ ist nur ein Parameter): D D τ ( N D X → D τ ) = ∇ → N

Wie beweist man den Sprung von 2 nach 3. Warum folgt man den Einheitsvektoren und nicht den Poynting-Vektoren selbst? Oder warum sollten die Lichtstrahlen überhaupt tangential zu den Poynting-Vektoren sein (abgesehen von der Intuition wie "Lichtstrahlen sollten Energie transportieren")?

Könnte mir jemand den Beweis von 3. geben oder mich auf eine Referenz verweisen?

Die Unterscheidung zwischen S → Und S → ist nicht sehr bedeutend; Der Punkt der Einheitsvektoren ist, dass sie in die gleiche Richtung wie der Poynting-Vektor zeigen, mit Einheitsgröße. Das Feld der Einheitsvektoren verformt sich kontinuierlich über Phasengrenzen hinweg, ebenso wie der Poynting-Vektor. Sie könnten genauso gut dem Poynting-Vektor folgen, aber es wäre etwas verwirrender, da sich die "Größe" des Vektors ändern würde, wenn sich der Index des Mediums ändert. Dies ist nicht notwendig, um zu sehen, dass der Weg der Lichtausbreitung an jedem Punkt im Raum entlang des Poynting-Einheitsvektors verläuft.
@KDN, intuitiv macht dein Kommentar sehr viel Sinn, danke, aber ich hoffe, irgendwann einen detaillierteren Beweis zu bekommen.
Außerdem weiß ich nicht, ob es einen "Beweis" für 3 gibt. Ich glaube, es ist eher eine Definition. Als geometrischer „Lichtstrahl“ wird die Bahn bezeichnet, die der Poynting-Vektor des elektromagnetischen Feldes vorgibt.

Antworten (1)

Dazu gibt es eine Reihe interessanter Punkte.

  • Der Übergang von 1. nach 2. ist nicht trivial. Wenn Sie die Berechnung durchführen, werden Sie sehen, dass der Laplace-Operator ist ∇ 2 E → aus der Wellengleichung ergibt sich der Term in ( ∇ χ ) 2 Sie erwähnen sowie einen Begriff in ∇ 2 χ . Dieser zweite Begriff geht nur im Kleinen weg λ Grenze und es ist die Essenz der eikonalen Annäherung. Es ist keine Rechnung, die Sie wegwinken sollten: Arbeiten Sie sie vollständig durch und setzen Sie die Annäherung um, wobei Sie dies vor Ort bemerken χ ( X → ) = k → ⋅ X → + langsame Faktoren , Wo k → ist groß. (Sie müssen natürlich "langsam" quantifizieren.)
  • (Die Berechnung, dass S → = C 2 N 2 ω ∇ χ , ist dagegen trivial.)
  • Wie KDN erwähnt, sind die Integralkurven von S → und sein Einheitsvektor S → sind gleich. Dies folgt aus der Definition von Integralkurven: Sie sind solche Kurven, dass das Vektorfeld sie durchgehend tangiert. Dies ist unabhängig von der Länge des Vektors. (In Bezug auf die Kurve entspricht dies einer Umparametrisierung der "Zeit": Sie ändert die Geschwindigkeit, aber nicht die Richtung der Geschwindigkeit.) Die Verwendung eines Einheitsvektors bedeutet, dass Lichtstrahlen nach Weglänge parametrisiert werden.
  • Man kann Lichtstrahlen einfach als integrale Kurven von definieren S → und sich darüber freuen, wobei dem natürlich einfach die Physik fehlt. Die Schlüsseltatsache über die so definierten Lichtstrahlen ist, dass sie überall normal zu den konstanten Oberflächen sind χ , also die Flächen konstanter Phase, also die Wellenfronten. Ebene Wellen breiten sich in geraden Linien normal zu den Wellenfronten im freien Raum aus, ebenso Lichtstrahlen (so definiert). Es ist die Normale zu den Wellenfronten, die beim Ausarbeiten von Fresnel-Gleichungen von Bedeutung ist, und daher werden die (so definierten) Lichtstrahlen dem Snellschen Gesetz gehorchen. Der Beweis von 3. ist letztlich Definitionssache: Was sind Lichtstrahlen? Schreiben Sie jede definierende Eigenschaft auf und Sie werden in der Lage sein, die Integralkurven von zu beweisen S → gehorche ihm.
  • Es ist wichtig zu beachten, dass in isotropen Medien S → ist nicht nur der Poynting-Vektor der lokalen Einheit, sondern auch der Wellenvektor der lokalen Einheit. (Im Wesentlichen ist dies derselbe Punkt wie oben.) Intuitiv sollten Lichtstrahlen Wellenvektoren folgen, weil es Wellenvektoren sind, die Lichtwellen sagen, wohin sie gehen sollen. In einem doppelbrechenden (nicht isotropen) Medium sind die Phasenausbreitungsrichtung (Wellenvektor) und die Energieausbreitungsrichtung (Poynting-Vektor) nicht unbedingt gleich (und das Snell-Gesetz gilt nicht).
  • Beweisen von 4. ist eine interessante Übung (dh tun Sie es!), aber es ist im Wesentlichen trivial. Sie stützt sich auf die Identität D X → D τ = S → , die Lichtstrahlkurven definiert X → ( τ ) , bei vernünftiger Verwendung der Gesamtableitung D D τ = ( D X → D τ ⋅ ∇ ) , und einige interessante Vektorrechnungsmanipulationen. (Tipp: beweisen ( ∇ χ ⋅ ∇ ) ∇ χ = 1 2 ∇ ( ∇ χ ) 2 .) Vermutlich wissen Sie inzwischen, dass das, was Sie erhalten, die Strahlengleichung genannt wird, was sie bedeutet und wie man sie benutzt, sonst hätten Sie hier nicht aufgehört ;).

Das scheint genug zu sein, um Sie zum Laufen zu bringen, aber wenn Sie weitere Fragen haben, stellen Sie sie.

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