Erklärung der Strahlenkaustik in E&M

In Wikipedia ist die Kaustik wie folgt definiert.

In der Optik ist eine Kaustik die Hülle von Lichtstrahlen, die von einer gekrümmten Oberfläche oder einem Objekt reflektiert oder gebrochen wird, oder die Projektion dieser Strahlenhülle auf eine andere Oberfläche.

Sie können sich die Hüllkurve einer Kurvenschar als eine Kurve vorstellen, die eine Tangente zu jeder von ihnen ist.

Hier ist ein Diagramm auf Seite 60 von „A Treatise on Optics“ von David Brewster, veröffentlicht 1831.

Es gibt eine Lichtquelle bei$R$und die Strahlen werden an einer kreisförmigen Oberfläche reflektiert$MN$obwohl nur die Strahlen von einem Teil reflektiert werden$MB$werden gezeigt.
Der Einfallswinkel ist gleich dem Reflexionswinkel für jeden der Strahlen.
Keiner der Strahlen trifft am selben Punkt auf die Hauptachse, außer denen, die die reflektierende Oberfläche an Positionen treffen$B, 1, 2$Und$3$Tun Sie dies ungefähr und hier entsteht das Bild des Objekts$R$gebildet.
Der konkave Spiegel leidet unter einem Spiegeldefekt, der als sphärische Aberration bezeichnet wird.

Wenn Sie sich nun alle Strahlen in der oberen Hälfte ansehen, definieren sie einen Bereich ohne Licht und einen Bereich, in dem Licht vorhanden ist, und insbesondere gibt es eine Umhüllung, die in der unteren Hälfte in Rot dargestellt ist und die Orte definiert, an denen die Strahlen tangieren - dies ist die Kaustikkurve und hier ist ein Foto von einer, obwohl Sie vielleicht sehr häufig eine in Ihrer Tasse Kaffee oder Tee sehen?

Die Kaustikkurve ist besonders auffällig, weil sie heller ist, weil mehr Strahlen durch diesen Bereich gehen als in anderen Bereichen um den Reflektor herum.

Im Diagramm oben habe ich eine Hälfte der gedachten Kaustik blau eingefärbt.
Dies wird erreicht, indem das Objekt auf die andere Seite des Reflektors bewegt wird$MBN$so dass es wie ein konvexer Spiegel wirkt. Die reflektierten Strahlen divergieren, aber wenn sie zurückerzeugt werden, bilden sie die blaue imaginäre Kaustik$Nf'M$.

In den letzten Jahren wurden Ätzmittel verwendet, um Exoplaneten zu finden.

Ein Stern und seine umlaufende Pflanze wirken als Gravitationslinse und bilden eine Kaustik in einer Ebene im rechten Winkel zur Ebene der Erdumlaufbahn um die Sonne, die im linken Diagramm blau dargestellt ist.
Wenn die Umlaufbahn der Erde (in Rot dargestellt) die Kaustik kreuzt, ändert sich die aus der Kaustik resultierende Lichtintensität, wie im Diagramm der Intensität gegen die Zeit gezeigt.
Obwohl die Form der Kaustik sehr komplex ist, bedeutet diese Komplexität, dass aus der Kaustik Informationen über den Stern und seinen Exoplaneten gewonnen werden können.
Der edX-Kurs "ASTRO2x Astrophysics: Exploring Exoplanets" ist eine gute Einführung in diesen Effekt und viele andere, die verwendet werden, um Exoplaneten und ihre Eigenschaften zu entdecken.

Ihr Verständnis einer echten Kaustik (ich nehme an, Sie nennen sie real im Gegensatz zu der imaginären Kaustik, die Sie später erwähnen) ist richtig.

Zuerst der einfache Teil: Eine imaginäre Kaustik ist eine Kaustik, die sich auf der Verlängerung der Lichtstrahlen über das optische System hinaus befindet, von dem sie eintreffen. Beispielsweise können sich beim Vorhandensein einer konvexen Linse hinter der Linse selbst imaginäre Kaustiken bilden.

Dann der schwierigere Teil. Geometrische Optiken können unter der Annahme entwickelt werden, dass die Wellenlänge (für eine monochromatische Welle)$\lambda$ist dabei viel kleiner als jede andere physikalische Länge. In diesem Fall kann gezeigt werden, dass alle physikalischen Größen proportional zu sind

wo die Funktion$\psi$ist die Wellenphase. Oberflächen mit$\psi =$konstant sind Wellenoberflächen, und Caustics sind die Bereiche (falls vorhanden), die von (mindestens) zwei unterschiedlichen Wellenoberflächen erreicht werden, sagen wir eine mit$\psi = \psi_1$und eins mit$\psi=\psi_2$. Diese mathematische Charakterisierung ist global, nicht lokal, da die Biegung von Lichtstrahlen entweder lokal oder entfernt auftreten kann und dann dazu führt, dass Photonen ihre Wege kreuzen.

Es gibt noch eine weitere Charakterisierung der Kaustik durch das Winkel-Eikonal : Wenn Sie interessiert sind, finden Sie sie in der Theory of Fields von Landau & Lifshitz. In diesem Fall wird gezeigt, dass das Finden von Kaustiken dem Finden mehrerer Lösungen eines Systems von vier Gleichungen entspricht.

Schließlich haben Sie Recht, dass die geometrische Optik in der Nähe von Kaustik zusammenbricht; Wenn Strahlen Kaustiken kreuzen, gibt es tatsächlich dieses niedliche kleine Phänomen, bei dem sich ihre Phase genau ändert$-\pi/2$, was in der geometrischen Optik natürlich unerklärlich ist. Siehe auch hier Landau und Lifshitz für eine ergreifende Erklärung.