Wie berücksichtigt das Huygens-Prinzip die unidirektionale Eigenschaft einer Wanderwelle?

Der Link, den Sie gegeben haben, veranlasste mich, nach einer detaillierteren Antwort zu suchen, und ich erfuhr eine interessante Tatsache:

Die Konstruktion von Huygens funktioniert in 1 und 3 Dimensionen, ABER NICHT IN ZWEI!

Die Theorie dahinter wurde zuerst von Fresnel und später von Kirchoff abgeleitet – die Mathematik wird in diesem Artikel ausführlich erklärt . Es läuft alles darauf hinaus, dass die Wellengleichung für Wellen, die sich von einem Punkt aus ausbreiten, geschrieben werden kann als

wo$n$ist die Dimensionalität. Für$n=1$oder$n=3$der zweite Term auf der linken Seite verschwindet, und der Ausdruck wird wie der einer eindimensionalen Welle, die sich nach außen ausbreitet. Für$n=2$, wie für die Wellen auf einem Teich, gibt es tatsächlich einen anderen Begriff, der dazu führt, dass Wellen "rückwärts wandern". In diesem Fall funktioniert die übliche Huygens-Konstruktion nicht (ganz) gut.

Ziemlich subtiles Zeug - und die Tatsache, dass die mathematische Behandlung mehr als 100 Jahre nach Huygens' Erstveröffentlichung seiner Ideen stattfand (1679: Veröffentlichung von "Traité de la Lumière"; Fresnel wurde 1788 geboren), war etwas, das ich vorher nicht geschätzt hatte . Die beiläufige Behandlung, die in Frenchs Buch gegeben wird, ist im Kontext eines großen Buches sinnvoll, das schnell viel Boden abdeckt - aber ich weiß es zu schätzen, dass Sie mich auf diese Frage aufmerksam gemacht haben; es ist interessanter, als es auf den ersten Blick aussah.

Das Prinzip von Huygens, die konvexe Hülle der Kugelwellen zu nehmen, die von allen Punkten auf einer Wellenfront emittiert werden, gibt Ihnen tatsächlich zwei neue Wellenfronten: Eine „vorwärts“ und eine „rückwärts“. Diese sind beide sinnvoll: Die „vorwärts gerichtete“ Wellenfront entspricht der verzögerten Lösung der Wellengleichung, die „rückwärts gerichtete“ Wellenfront entspricht der fortgeschrittenen Lösung der Wellengleichung.

Diese beiden Wellenfronten haben eine physikalische Bedeutung: Die "hintere" ist, wo die Welle war (wenn sie nicht in diesem Moment emittiert wurde - das ist entscheidend), die "vordere" ist, wo die Welle sein wird , da sich die verzögerte Green-Funktion ausbreitet Lösungen vorwärts in der Zeit und die erweiterten Green-Funktionen propagieren sie rückwärts in der Zeit. Das muss man einfach aus der Wellengleichung selbst ableiten, es folgt nicht aus dem Huygens-Prinzip.

Ich möchte die Antwort von ACuriousMind ergänzen . Seine/Ihre Antwort betont, dass die Maxwell-Gleichungen und andere Gleichungen, die den Huygens-Kugelwellenkern in ihren Green-Funktionen hervorrufen, von Natur aus akausal sind und wir die Kausalität von Hand durch die entsprechenden Randbedingungen erzwingen müssen.

Bei Antennenproblemen verwerfen wir einfach den erweiterten Wellenteil der Lösung, um einen kausalen Zusammenhang zwischen Quellenstrom / -spannungen und dem Feld zu erzwingen.

In der Kirchhoff-Beugungstheorie fügt man einen Neigungsfaktor hinzu $(1+\cos\theta)/2$um die fortgeschrittene Welle zu töten. Die Kirchhoff-Theorie "leitet" den Neigungsfaktor von äquivalenten Randbedingungen an einem beugenden Schlitz ab, aber die Randbedingungen sind äquivalent zu einem Erzwingen der Kausalität.

Zu deiner letzten Frage:

"Ich verstehe nicht, wie seine Argumentation tatsächlich die Möglichkeit der Bildung von Rückwellen abwendet. Kann mir jemand helfen, zu visualisieren, was er spricht? Wie hält seine Argumentation die unidirektionale Ausbreitung von Wellen aufrecht? Kann jemand seine Argumentation erklären?" wobei sich „sein“ auf Huygens bezieht:

Siehe „Treatise On Light“, Christiaan Huygens, 1678 (Forgotten Books 2012). Darin behandelt Huygens auf Seite 21 die Rückwärtswelle: ".., aber sie wird dadurch lediglich rückwärts zum leuchtenden Punkt hin einige Teilwellen erzeugen, die nicht in der Lage sind, Licht zu verursachen, und nicht eine Welle, die aus vielen zusammengesetzt ist, wie es CE war". Hier ist CE die in der Abbildung auf Seite 19 gezeigte expandierende Wellenfront (die Einhüllende der Wavelets). gegenseitig. Ich denke, seine Argumentation zu den Rückwärtswellen war, dass die Partikelbewegung hauptsächlich nach außen gerichtet war, weg vom leuchtenden Punkt (dem Ursprungspunkt der Bewegung), und daher wäre jede Partikelbewegung nach innen „schwach“.

Eine wichtige Ressource zum Huygens-Prinzip, wie es sich seit seiner Zeit entwickelt hat, ist "The Mathematical Theory of Huygens' Principle", Baker und Copson, Chelsea 1987. Hier wird die Poisson-Formel, Seite 14 bis 20, verwendet, um zu zeigen, dass es keine Rückwärtswelle geben wird gebildet. Später zeigt er unter Verwendung von Ergebnissen von Fresnel und Helmholtz dasselbe für monochromatische Wellen, Seiten 20 - 28. Es ist jedoch vielleicht fraglich, ob die endgültige Arbeit zu diesem oder anderen Huygens-Prinzip-Problemen bereits abgeschlossen ist.

Nach Voigt und Kirchoff hängt der Beitrag von Wavelets von einem Winkel ab ($Y$), die es mit der Normalen von Wavelet bildet, ist$\frac12(1+\cos Y)$. Wir kennen die Wavelet-Formen$180$mit dem Normalen, also ist sein Beitrag Null, gemäß der mathematischen Formel von Voigt und Kirchhoff.