Können wir das Prinzip von Huygens unter Berücksichtigung von Maxwells Vorhersagen erklären?

Es ist mir alles andere als klar, was Sie fragen. Das einzige, was ich hatte, ist, dass Sie "Es ist ein wichtiges Ergebnis von Maxwells Theorie, dass beschleunigte Ladungen elektromagnetische Wellen ausstrahlen" als exklusiv interpretieren und sich fragen, wo sich die beschleunigten Ladungen in den Schlitzen befinden.

Die Maxwells-Gleichungen (und es ist wichtig, in Begriffen der Gleichungen zu denken und nicht in einem vagen und nebligen Wortbild) machen jedoch deutlich, dass Felder mit einer zweiten Ableitung ungleich null Quellen elektromagnetischer Strahlung sind. Kurz gesagt, die Maxwell-Gleichungen erklären das Huygen-Prinzip direkt , ohne dass weitere Arbeiten erforderlich sind.

Ich denke, der Punkt ist, dass das Huygens-Fresnel-Prinzip nur sagt, wie das Licht von einem Punkt zum nächsten gelangt, und nicht, wie es überhaupt erzeugt wird (die Quelle). Die Wellengleichung

$$\frac{\partial^2}{\partial t^2} \mathbf{E} - c^2 \boldsymbol\nabla ^2 \mathbf{E} = 0$$ sagt, dass immer dann, wenn das elektrische Feld nichtlinear im Raum variiert, dh $\boldsymbol\nabla^2\mathbf{E}\neq 0$, wird es beginnen, sich zu ändern, um dieser Schwankung entgegenzuwirken. Das Huygens-Prinzip besagt, dass Sie, wenn Sie wissen, wie man die Wellengleichung für einen momentanen punktartigen Lichtblitz (wenn Sie so wollen, einen Blip) lösen, die Wellengleichung für kompliziertere Wellen lösen können, indem Sie jeden Teil der Welle behandeln als kurzzeitiger punktartiger Blitz.

Es könnte sich für Sie lohnen, zu lernen, wie man die Wellengleichung (oder andere Cauchy-Probleme) mit den Funktionen von Green löst. Dies geschieht in den meisten Texten zur mathematischen Physik.

Um Dmckees Antwort zu ergänzen .

Eine gute Referenz für all dies ist Kapitel 8 von Born und Wolf, "Principles of Optics", und die Argumentation lautet im Wesentlichen wie folgt:

Alle kartesischen Komponenten des zeitharmonischen elektromagnetischen Feldes$\vec{E}, \vec{B}\,\cdots$(und die Komponenten des potentiellen Vierervektors, der natürlich in der Lorenz-Eichung liegt) in einem homogenen Medium die Helmholtz-Gleichung erfüllen:

$$(\nabla^2 + k^2)\psi = 0$$

Wo$k$die Wellenzahl des monochromatischen Feldes im betreffenden Medium ist.

Nun die Greens-Funktion für diese Gleichung ( also die Basislösung der inhomogenen Gleichung$(\nabla^2 + k^2)\psi = \delta(\vec{r})$Wo$\delta$im Distributionssinn genommen wird ) ist$\exp(i\,k,r)/r$. Das ist der „Huygens-Vermehrer“; aus dieser Basislösung bauen wir Lösungen der homogenen Helmholtz-Gleichung auf Strahlung von "Quellen" außerhalb des interessierenden Raumes; dass dies erreicht werden kann, indem man eine kontinuierliche Platte solcher Quellen auf eine "Quellen" -Öffnung im Geiste von Huygens legt, wird in Kapitel 8 von Born und Wolf gezeigt, um Kirchhoffs Beugungsintegral zu erhalten, das die a homogene Helmholtz-Gleichung ausdrückt - erfüllendes Feld$\psi$an jedem Punkt innerhalb eines Volumes$V$in Bezug auf seine Werte und normale Ableitungen auf der Grenze$\partial V$:

$$\psi\left(\mathbf{r}\right) = \frac{1}{4\pi} \int_{\partial V} \left(\psi\left(\mathbf{u}\right) \nabla \frac{e^{\pm i\,k\,\left|\mathbf{u} -\mathbf{r}\right|}}{\left|\mathbf{u} -\mathbf{r}\right|} - \frac{e^{\pm i\,k\,\left|\mathbf{u} -\mathbf{r}\right|}}{\left|\mathbf{u} -\mathbf{r}\right|}\nabla \psi\left(\mathbf{u}\right) \right) \cdot \hat{\mathbf{n}}\left(\mathbf{u}\right) \mathrm{d}^2 u$$

Nachdem man diesen Ausdruck ein wenig kritisiert und einige ziemlich milde Annahmen getroffen hat, kann Huygens' ursprüngliche Theorie abgeleitet werden.

Eine Sache, die uns klar sein sollte, ist, dass wir zuerst darüber nachdenken sollten, welche Theorie für welchen Zweck ist. Als Laie finde ich:

1. Sobald eine Wellenquelle an einem Punkt verfügbar ist, befasst sich das Huygen-Prinzip mit der Ausbreitung von Störungen (ich sage nicht Ausbreitung von Wellen, es ist die Ausbreitung von oszillierenden Störungen, die als Welle bekannt sind. Welle ist Ausbreitung von Störungen. Ausbreitung von Wellen scheint eine Aussage wie "Ausbreitung der Ausbreitung" zu sein. Huygens Prinzip befasst sich nicht mit der Verfügbarkeit einer Quelle. Huygens Prinzip befasst sich mit Wellenfronten, sobald wir eine Quelle zur Hand haben, und sagt nichts über den Mechanismus der Quelle aus angewendet sowohl bei mechanischen Wellen wie elastischen Wellen (Schall) als auch im Fall von EM-Wellen. Es muss keine experimentellen Gesetze wie das Gaußsche Gesetz, das Amperesche Kreisgesetz, das Faradaysche Gesetz benötigt werden. Dies kann Reflexionsgesetze und Gesetze von erklären Brechung,aber nicht in der Lage, Reflexions- und Transmissionskoeffizienten usw. zu berechnen.

2. Andererseits basiert Maxwells Theorie auf experimentellen Gesetzen wie dem Gaußschen Gesetz, dem Kreisgesetz von Ampere, Faradays. Diese Theorie ist nur im Fall von EM-Wellen anwendbar, die sich durch Vakuum sowie durch physikalische Medien ausbreiten, aber nicht im Fall von elastischen Wellen. Es erzählt von Feldschwingungen und daraus resultierenden Schwingungen von Elektronen in einem Kontinuum. Maxwells Theorie kann die Quelle der EM-Welle als „beschleunigte Ladung, oszillierende Ladung, Oszillationsdipol usw.“ beschreiben. Sie beschreibt die Ausbreitung auf mathematische Weise, wo ich kein physikalisches Bild finde. Als Ergebnis, wenn wir die Ausbreitung von EM betrachten Welle durch Kristall, nehmen wir die Unterstützung des Huygenschen Prinzips, um die Doppelbrechung zu erklären.

Die Frage scheint also vage (unklarer Charakter) zu sein.