Huygenssches Prinzip in gekrümmten Raumzeiten

Gilt das Huygens-Prinzip in geradedimensionalen (2m+1,1) gekrümmten Raumzeiten oder gibt es bestimmte notwendige Bedingungen dafür? Mit anderen Worten, wenn ich Cauchy-Daten für ein Feld habe, das die Wellengleichung im gekrümmten Raum erfüllt, hängt der Feldwert an einem Punkt nur vom Schnittpunkt des vergangenen Lichtkegels mit der Cauchy-Oberfläche ab?

Was sind außerdem die physikalischen Auswirkungen in Fällen, in denen das Huygens-Prinzip versagt, sowohl im ungeraddimensionalen flachen Raum als auch in gekrümmten Raumzeiten? Gibt es Komplikationen mit dem Cauchy-Problem oder andere bemerkenswerte physikalische Phänomene als Wellenschwänze? Ich würde mich für Implikationen für elektromagnetische und Gravitationsstrahlung interessieren.

Nach meinem Verständnis gilt das Hyugen-Prinzip nur über eine flache Metrik. Es mag möglich sein, dass das Prinzip in einer sehr leicht gekrümmten Raumzeit funktioniert, aber in Bezug auf die Allgemeine Relativitätstheorie würde ich denken, dass Gravitationsstreuung auftreten könnte. Ich habe dies als Kommentar hinzugefügt, weil ich möchte, dass Sie mich korrigieren oder ergänzen, wenn ich Ihre Frage falsch interpretiere.
Ist das Prinzip von Huygens nicht auch in der flachen Raumzeit nur eine Annäherung?
@BenCrowell Nein, ich glaube, meine Aussage zum Prinzip ist im flachen Raum in ungeraden räumlichen Dimensionen gültig, wie Ihr Link zeigt, aber korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege. Naturphilosoph, der Grund für die Frage ist im Wesentlichen folgender: In 4 Dimensionen gibt es eine sehr effektive Beschreibung von asymptotisch flachen Räumen durch konforme Kompaktifizierung. Wie an mehreren Stellen beschrieben (siehe arxiv.org/abs/gr-qc/0407014 ), verallgemeinert sich diese Methode im Fall von Raumzeiten mit gerader räumlicher Dimension nicht. Also suche ich nach anderen heuristischen Unterschieden zwischen Strahlung in gerader und ungerader Dunkelheit. Raumzeiten

Antworten (2)

Es funktioniert im Allgemeinen nicht in gekrümmter Raumzeit. Es gibt ein ziemlich dickes Buch von P. Günther, das sich fast ausschließlich diesem Thema widmet: Huygens' Prinzip und hyperbolische Gleichungen. Einige Diskussionen finden sich in Friedlanders Buch über die Wellengleichung in der gekrümmten Raumzeit. Eine notwendige Bedingung für die Gültigkeit des Huygens-Prinzips ist, dass die Raumzeit ein Einsteinraum ist. Für Ricci-flache Raumzeiten gibt es nur zwei Fälle, der eine ist die Minkowski-Raumzeit, der andere ein Raum, der ebene Gravitationswellen enthält.

Es gibt auch Implikationen bezüglich des charakteristischen Cauchy-Problems ...

Das habe ich mir gedacht, aber ich möchte, dass er seine Gründe für die Fragestellung präzisiert.

Es ist möglich, dass die Raumzeitkrümmung Licht streut und reflektiert. Der offensichtlichste Fall dafür ist der Gravitationslinseneffekt. Es ist wahrscheinlich am besten, die Wellengleichung für das zugrunde liegende Licht einfach gegen die richtige Metrik zu lösen, als sich auf ein vereinfachendes Prinzip wie das Huygen-Prinzip zu berufen.

Huygenssches Prinzip in gekrümmten Raumzeiten
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