Warum gilt das Huygenssche Prinzip nur in einer ungeraden Anzahl von Raumdimensionen?

Sie sollten sich die Form der erweiterten fundamentalen Lösung der D'Alembert-Gleichung ansehen, die in geodätisch konvexen offenen Mengen aufgebaut ist, einschließlich der bei dem Ereignis lokalisierten Quelle$y$und der am enent lokalisierte Testpunkt$x$Empfangen der von der Quelle erzeugten Welle. Die Konstruktion, zumindest für analytische Mannigfaltigkeiten mit analytischen Metriken, erhält man durch Summieren einer schönen Reihe, die ursprünglich von Hadamard entdeckt wurde (und tatsächlich von Riesz gehandhabt wird; es gibt tatsächlich einen wunderbaren Artikel auf Französisch von Riesz über diese fantastische Konstruktion, der sich heutzutage auf die Wärmekerntheorie bezieht mit QFT in Kurvenraumzeit). Die Ergebnisse von Hadamard-Riesz wurden von mehreren modernen Autoren auf den glatten Fall ausgedehnt (siehe Lehrbücher von Guenther und Friedlander). Die Reihe, wenn die Dimension zu einer Grundlösung führt, enthält einen Begriff, der sich vollständig auf den von ihm ausgehenden Lichtkegel stützt$y$. Daher beziehen sich nur auf diesen Begriff die Lösungen der D'Alembert-Gleichung, die von ausgegeben werden$y$breitet sich entlang Null-Geodäten aus, um zu erreichen$x$aus$y$. Das ist im Grunde das Prinzip von Huygens.

Wenn die Dimension gerade ist und die Mannigfaltigkeit nicht flach oder die Dimension ungerade ist, erscheinen weitere Terme hinzugefügt zu dem auf dem Lichtkegel lokalisierten. Das zugrunde liegende "mathematische Phänomen" ist in flacher Raumzeit mehr oder weniger das gleiche, wenn man eine Masse zum D'Alembert-Operator hinzufügt und somit zur Klein-Gordon-Gleichung übergeht, die dem Huygens-Prinzip nicht gehorcht.

Der relevante Punkt ist, dass dieser weitere Begriff jetzt innerhalb des zukünftigen Lichtkegels unterstützt wird, der von ausgeht$y$. In diesem Fall gibt es einen Beitrag zu Wellenlösungen, die von emittiert werden$y$Ausbreitung entlang zeitähnlicher Geodäten aus$y$zu$x$, und das Prinzip von Huygens versagt.

Ich denke, das hat seinen Ursprung bei Hadamard und seiner Abstiegsmethode. Siehe Vorlesungen über das Cauchys-Problem in linearen partiellen Differentialgleichungen -- ab Seite 7. Seine Ergebnisse waren, dass sich Wellen in zwei Dimensionen nicht scharf ausbreiten, sondern einen Nachlauf (einen Schweif, ...) haben. Z.B. eine kreisförmige Welle, die sich im zweidimensionalen Raum ausbreitet, im Vergleich zu einer Kugelwelle, die sich im dreidimensionalen Raum ausbreitet, wo sie sich ohne Nachlauf sauber ausbreiten würde.

Hadamard nahm im Wesentlichen einen Schnitt durch eine zylindrische Welle in drei Dimensionen, um eine kreisförmige Welle in zwei Dimensionen zu erhalten (eine Dimension absteigend). Die Menschen haben die Vermehrung ohne Kielwasser als ein Kriterium für die Erfüllung des Huygens-Prinzips betrachtet.

Das ist also der Ursprung von „warum“, wenn man Hadamards Ergebnisse akzeptiert.

Dies ist eine detailliertere Version der Antwort von @tparker.

Vermuten$\phi(x,t)$ist eine kugelsymmetrische Lösung der Wellengleichung, die die Anfangsbedingungen erfüllt

Dann haben wir:

Satz 1: Wenn die Anzahl der Dimensionen ungerade ist,$\phi(x,t)$wird vollständig durch die Werte von bestimmt$f$auf dem vergangenen ``Lichtkegel'' von$(x,t)$.

Satz 2: Wenn die Anzahl der Dimensionen gerade ist,$\phi(x,t)$hängt von den Werten ab$f$sowohl auf als auch innerhalb des vergangenen Lichtkegels von$(x,t)$.

Genauer gesagt lassen$M(x,t)$sei der Mittelwert von$f$auf der Radiuskugel$t$um$x$. Dann folgen die Sätze 1 und 2 aus:

Satz 1$'$: Wenn die Anzahl der Dimensionen ungerade ist,$\phi(x,t)=t M(x,t)$.

Satz 2$'$: Wenn die Anzahl der Dimensionen gerade ist, dann

In gleichmäßig vielen Dimensionen ergibt sich also der Mittelwert von f auf jeder Kugel von jedem Radius aus$0$zu$t$Zur Lösung trägt dabei in merkwürdig vielen Dimensionen nur der Sphärenradius bei$t$trägt bei. Insbesondere in gleich vielen Dimensionen (aber nicht in ungeraden vielen) kann eine anfängliche Störung am Ursprung Auswirkungen haben$x$lange nachdem der anfängliche Wellenberg passiert ist.

Sätze$1'$und$2'$sind nicht allzu schwer zu beweisen, aber es könnte aufschlussreicher sein, die zugrunde liegende Intuition zu berücksichtigen. Nämlich:

Aus gegebenen Anfangsdaten für (sagen wir) eine zweidimensionale Welle können wir Anfangsdaten für eine dreidimensionale Welle erstellen, indem wir dieselben Daten verwenden und sie unabhängig von der dritten Koordinate machen, die ich nennen werde$z$.

Wenn wir nun das dreidimensionale Problem lösen, sollten wir eine Lösung unabhängig von erhalten$z$; Indem wir uns auf die Ebene beschränken, haben wir unser 2-dimensionales Problem gelöst.

Wenn bei dieser Operation unsere Anfangsdaten in der Nähe des Ursprungs für das 2D-Problem konzentriert werden, werden sie entlang des gesamten Problems konzentriert$z$-Achse für das 3D-Problem. Also von jedem Punkt entlang der$z$-Achse erhalten wir eine sich ausdehnende 3-dimensionale Sphäre einer Nicht-Null-Welle.

Betrachten Sie nun einen Punkt$P$im Flugzeug. Jede unserer vertikalen Anordnungen expandierender Sphären wird schließlich durch einen Punkt hindurchgehen$P$. Aus diesem Grund wird es an diesem Punkt fortlaufend Nicht-Null-Wellenwerte geben$P$(und erklärt genau, warum bei einem bestimmten Ereignis alles im vergangenen Lichtkegel und nicht nur auf dem Lichtkegel von Bedeutung ist).

Das Prinzip von Huygen entspricht im Grunde der Tatsache, dass die Funktion des Grüns$G(s)$denn die Wellengleichung hat nur Unterstützung bei$s = 0$, wo$s$im invarianten Raumzeitintervall. Mit anderen Worten, Signale können sich nur genau auf dem Lichtkegel ausbreiten und nicht innerhalb des Lichtkegels - sie breiten sich mit Licht-/Schallgeschwindigkeit aus, ohne eine "Nachfolge" zu hinterlassen. Die Tatsache, dass diese Eigenschaft nur in ungeraden räumlichen Dimensionen gilt, ist eine ziemlich einfache Übung in komplexer Konturintegration, demonstriert zB in https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02903572 .