Was ist die Grundlage des Huygens-Prinzips?

Die Begründung des Huygensschen Prinzips ist im Wesentlichen die Beobachtung, dass die Greensche Funktion für die Helmholtz-Wellengleichung die Kugelwellenquelle ist

$$\psi_G(\vec{r})=\frac{e^{i\,k\,r}}{r}$$

Da auch näherungsweise monotone Schallwellen die Helmholtz-Gleichung erfüllen, gilt auch für sie die folgende Überlegung und damit das Huygenssche Prinzip genau.

Eine einfache Rechnung, um zu zeigen, dass man die Wirkung solcher Quellen auf eine Wellenfront zusammenfassen und ungefähr die richtige Antwort erhalten kann, läuft wie folgt ab. Wir betrachten einen halbunendlichen Bereich$V$mit Grenze$\partial V$. Nur ein Teil dieser Grenze - eine Öffnung$A$– hat eine deutlich von Null verschiedene Störung$\psi(\vec{r})$. Wir wollen finden$\psi$an irgendeiner Stelle$\vec{r}_0$von der Blende entfernt. Wir betrachten zwei Funktionen$\psi(\vec{r})$und die Green-Funktion$\psi_G(\vec{r}-\vec{r}_0)$und bilden das Vektorfeld$\psi(\vec{r})\,\nabla \psi_G(\vec{r}-\vec{r}_0)-\psi_G(\vec{r}-\vec{r}_0)\,\nabla \psi(\vec{r})$und stecken Sie dann dieses kleine Biest in den Divergenzsatz von Gauß für eine Fläche, die (1) die Grenze umfasst$\partial V$, was nach Annahme für diese Berechnung dasselbe ist wie einfach die Apertur$A$(weil das Feld nach Annahme anderswo klein ist) und (2) eine kleine Kugel mit Radius$\epsilon$die die Singularität in herausschneidet$\psi_G(\vec{r}-\vec{r}_0)$bei$\vec{r}_0$. Wir wenden also den Divergenzsatz auf den Teil des Volumens an, der darin enthalten ist$\partial V$das liegt außerhalb der kleinen Sphäre der „Quarantäne“. Der Divergenzsatz liefert:

$$\int_{\partial V} (\psi(\vec{r})\,\nabla \psi_G(\vec{r}-\vec{r}_0)-\psi_G(\vec{r}-\vec{r}_0)\,\nabla \psi(\vec{r}))\cdot \hat{n} \,\mathrm{d} S = -4\,\pi\,\psi(\vec{r}_0) + \int_V (\psi(\vec{r})\,\nabla^2 \psi_G(\vec{r}-\vec{r}_0)-\psi_G(\vec{r}-\vec{r}_0)\,\nabla^2 \psi(\vec{r}))\,\mathrm{d} V + O(\epsilon) = -4\,\pi\,\psi(\vec{r}_0) + O(\epsilon)$$

bei dem die$-4\,\pi\,\psi(\vec{r}_0)$Begriff (erinnern Sie sich daran$\psi(\vec{r}_0)$wollen wir finden) ergibt sich aus dem Oberflächenintegral der kleinen Quarantänekugel und das Volumenintegral verschwindet, weil beides verschwindet$\psi$Und$\psi_G(\vec{r}-\vec{r}_0)$die Helmholtz-Gleichung außerhalb der Quarantänesphäre erfüllen. Sie können also sehen, dass uns das übrig bleibt (nachdem wir die Grenze als genommen haben$\epsilon\to 0$):

$$\psi(\vec{r}_0) \propto \int_A (\psi(\vec{r})\,\nabla \psi_G(\vec{r}-\vec{r}_0)-\psi_G(\vec{r}-\vec{r}_0)\,\nabla \psi(\vec{r}))\cdot \hat{n} \,\mathrm{d} S \approx \int_A \frac{\exp(i\,k|\vec{r}-\vec{r}_0|)}{|\vec{r}-\vec{r}_0|}(i\,k\,\psi(\vec{r})\,\cos(\theta(\vec{r}))-\nabla \psi(\vec{r})\cdot \hat{n}) \,\mathrm{d} A$$

was unter verschiedenen Annäherungen zum Huygenschen Prinzip führt (man beachte den ersten Term, der die Kugelwelle zusammenfasst$\exp(i\,k|\vec{r}-\vec{r}_0|)/|\vec{r}-\vec{r}_0|$gewichtet nach dem Wert des Feldes$\psi(\vec{r})$auf der Blende.$\cos(\theta(\vec{r}))$ist für den sogenannten Schiefstandsfaktor verantwortlich .

---

Können Sie Ihre Erklärung bitte auf Highschool-Niveau vereinfachen? Ich entschuldige mich, aber ich kann der Mathematik nicht folgen.

Entschuldigung meinerseits dann. Es ist eine gute Idee, das eigene Niveau in der Frage anzugeben: Ihre eigene Frage ist gut und durchdacht gestellt, sodass Sie tatsächlich als jemand erscheinen, der weiter fortgeschritten ist als die High School. Beschreiben Sie Ihr Niveau in Bezug auf Ihr Wissen und nicht auf Ihr Alter, da wir auf dieser Website mehrere Physiker im Teenageralter haben, die sich dem Graduiertenniveau nähern.

Jedenfalls müssen Sie sich mit der Erklärung begnügen, dass das Prinzip von Huygens postuliert wurdevon Huygens als "Vermutung" zur Erklärung der Natur von Wellen. Er verstand das lineare Überlagerungsprinzip: dass die durch die Summe der Wellen verursachte Störung die Summe der Einzelstörungen ist und verstand so beispielsweise, dass sich eine Reihe von Punktstrahlern zu einer ebenen Wellenfront summieren könnte. Im 19. Jahrhundert entwickelten Mathematiker eine rigorose Beschreibung dieser Gedanken – die Methode der Greenschen Funktionen ist im Wesentlichen der Aufbau allgemeiner Lösungen für lineare Gleichungen durch lineare Superposition von „fundamentalen Lösungen“. Und siehe da, wenn Sie herausfinden, was die "fundamentale Lösung" für die monochromatische Wellengleichung (Helmholtz-Gleichung) ist, stellt sich heraus, dass es sich um einen sphärischen Wellenpunktstrahler handelt, genau wie Huygens vermutet hatte.

Das Prinzip von Huygens funktioniert also für jedes Phänomen, das durch die Helmholtz-Gleichung beschrieben wird. Dazu gehören Licht-, Schall- und Wasserwellen (in gewissen Näherungen). Die Helmholtz-Gleichung ist eine andere Form der D'Alembert-Wellengleichung , die gültig ist, wenn die Wellen ungefähr monochromatisch oder monoton sind. Selbst in der modernen Quantenfeldtheorie, wo die relevanten Gleichungen keine Wellengleichungen sind, werden bestimmte Pfadintegrale noch immer nach Huygens-ähnlichen Methoden berechnet.