Ist diese Feldneudefinition für die freie Skalarfeldtheorie nicht-lokal?

Question

Ist diese Feldneudefinition für die freie Skalarfeldtheorie nicht-lokal?

Howard

Die Aktion der freien Skalarfeldtheorie ist wie folgt:

S = \int d^{4} x \frac{{\dot{ϕ}}^{2}}{2} - \frac{ϕ (m^{2} - \nabla^{2}) ϕ}{2} .

$S=\int d^4 x \frac{\dot{\phi}^2}{2}-\frac{\phi(m^2-\nabla^2)\phi}{2}.$

Ich habe darüber nachgedacht, Feld neu zu definieren als

ϕ^{'} (x) = \sqrt{m^{2} - \nabla^{2}} ϕ (x),

$\phi'(x)=\sqrt{m^2-\nabla^2}\phi(x),$ wobei ich davon ausgehe, dass ich den Operator trennen kann

(m^{2} - \nabla^{2})

$(m^2-\nabla^2)$ als

\sqrt{m^{2} - \nabla^{2}} \sqrt{m^{2} - \nabla^{2}}

$\sqrt{m^2-\nabla^2}\sqrt{m^2-\nabla^2}$ und integrieren Sie einen von ihnen partiell (durch unendliche Erweiterung der Quadratwurzel des Helmholtz-Operators). Der Hamiltonian wird

H = \int d^{3} x \frac{π^{'} (m^{2} - \nabla^{2}) π^{'}}{2} + \frac{ϕ^{' 2}}{2} .

$H=\int d^3x\frac{\pi'(m^2-\nabla^2)\pi'}{2}+\frac{\phi'^2}{2}.$

Man kann überprüfen, ob die Bewegungsgleichung und die Lösungen mit der ursprünglichen Freifeldtheorie übereinstimmen (wie sie sein sollte). Die Dinge, die mir Sorgen bereiten, sind:

Ist es fair, die unendliche Erweiterung + Integration in Teilen durchzuführen?
Da es unendliche Reihen in der Feldneudefinition gibt, ist sie nichtlokal? Gemäß der Wellenfunktion in der Quantenmechanik und Lokalität und warum werden Lagrangianer höherer Ordnung als "nicht lokal" bezeichnet? , es scheint nicht lokal zu sein. Da es jedoch keine Zeitableitungen in der Quadratwurzel gibt, sollten die Anfangsdaten an jedem Raumpunkt zwei sein, was einem dof an jedem Punkt entspricht. Wenn die unendliche Erweiterung gültig ist, kann man die Feldkonfiguration kennen $\phi'(x)$ wenn wir es wissen $\phi(x)$ , ist mir nicht klar, ob wir all diese Anfangsdaten für die unendliche Reihe von Ableitungen brauchen.

Das obige einfache Beispiel könnte zu trivial sein, die Frage, die ich untersuche, ist, ob die folgende Aktion stabil ist oder nicht,

H = \int d^{3} x \frac{1}{4} π \frac{1}{(1 + 2 β \nabla^{2})} π - ϕ (β \nabla^{2} \nabla^{2} + \nabla^{2}) ϕ,

$H=\int d^3x \frac{1}{4}\pi \frac{1}{(1+2\beta \nabla^2)}\pi-\phi(\beta\nabla^2\nabla^2+\nabla^2)\phi,$ wo

β

$\beta$ ist eine Konstante. Ich dachte, verwenden Sie die nicht lokale Feldneudefinition

π^{'} := \frac{1}{\sqrt{1 + 2 β \nabla^{2}}} π, ϕ^{'} := \sqrt{1 + 2 β \nabla^{2}} ϕ,

$\pi':=\frac{1}{\sqrt{1+2\beta\nabla^2}}\pi,\qquad \phi':=\sqrt{1+2\beta\nabla^2}\phi,$ um den Hamiltonian umzuschreiben als

H = \int d^{3} x \frac{1}{4} π^{' 2} - ϕ \frac{(β \nabla^{2} \nabla^{2} + \nabla^{2})}{1 + 2 β \nabla^{2}} ϕ,

$H=\int d^3x \frac{1}{4}\pi'^2 -\phi\frac{(\beta\nabla^2\nabla^2+\nabla^2)}{1+2\beta\nabla^2}\phi,$ was garantiert kein Geist ist. Ich stimme zu, dass der Hamilton-Operator, mit dem ich beginne, ziemlich ungewöhnlich ist, aber es ist ein reduzierter Hamilton-Operator einer eingeschränkten höheren Ableitungstheorie.

Es ist nicht offensichtlich, wie man dies durch übliche kanonische Transformation analysiert. Gibt es eine gute Möglichkeit, dies zu analysieren, oder kann mir jemand sagen, was bei dieser Art der Feldneudefinition schief gehen wird?

Diego Mazon

+1 Meiner Meinung nach sollten Sie auch die Interaktionsbedingungen schreiben.

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Ist diese Feldneudefinition für die freie Skalarfeldtheorie nicht-lokal?

+1 Meiner Meinung nach sollten Sie auch die Interaktionsbedingungen schreiben.

QMechaniker · Answer 1

Lagrange-Formulierung. Die Lagrange-Dichte für einen massiven freien Skalar in der $(+,-,-,-)$ Konvention ist
$\begin{matrix} (1) & L = \frac{1}{2} d_{μ} ϕ d^{μ} ϕ - \frac{1}{2} m^{2} ϕ^{2} . \end{matrix}$ ${\cal L}~=~\frac{1}{2}d_{\mu}\phi ~d^{\mu}\phi-\frac{1}{2}m^2\phi^2.\tag{1}$ Die entsprechende Euler-Lagrange-Gleichung ist die massive Klein-Gordon-Gleichung $\begin{matrix} (2) & (d_{μ} d^{μ} + m^{2}) ϕ = 0. \end{matrix}$ $(d_{\mu}d^{\mu}+m^2)\phi~=~0. \tag{2}$ Der Schwung ist $\begin{matrix} (3) & π := \frac{\partial L}{\partial \dot{ϕ}} = \dot{ϕ} . \end{matrix}$ $\pi ~:=~ \frac{\partial \cal L}{\partial\dot{\phi}}~=~\dot{\phi}.\tag{3}$
Hamiltonsche Formulierung. Die Hamiltonsche Dichte ist
$\begin{matrix} (4) & H = \frac{1}{2} π^{2} + \frac{1}{2} (\nabla ϕ)^{2} + \frac{1}{2} m^{2} ϕ^{2} . \end{matrix}$ ${\cal H}~=~\frac{1}{2}\pi^2 +\frac{1}{2}({\bf \nabla}\phi)^2+\frac{1}{2}m^2\phi^2. \tag{4}$ Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen sind $\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} \dot{π} = & (\nabla^{2} - m^{2}) ϕ, \\ \dot{ϕ} = & π . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} \dot{\pi}~=~&({\bf \nabla}^2-m^2)\phi, \cr \dot{\phi}~=~&\pi.\end{align}\tag{5}$ Beachten Sie, dass beides $\phi$ und $\pi$ die massive Klein-Gordon-Gleichung (2) erfüllen.
Kanonische Transformation.
$\begin{matrix} (6) & \tilde{ϕ} := π, \tilde{π} := - ϕ . \end{matrix}$ $\widetilde{\phi}~:=~ \pi, \qquad \widetilde{\pi}~:=~ -\phi. \tag{6}$ Die neue Hamiltonsche Dichte ist genau die Hamiltonsche Dichte von OP $\begin{matrix} (7) & H = \frac{1}{2} {\tilde{ϕ}}^{2} + \frac{1}{2} (\nabla \tilde{π})^{2} + \frac{1}{2} m^{2} {\tilde{π}}^{2} . \end{matrix}$ ${\cal H}~=~\frac{1}{2}\widetilde{\phi}^2 +\frac{1}{2}({\bf \nabla}\widetilde{\pi})^2+\frac{1}{2}m^2\widetilde{\pi}^2.\tag{7}$ Beachten Sie, dass beides $\widetilde{\phi}$ und $\widetilde{\pi}$ die massive Klein-Gordon-Gleichung (2) erfüllen. Daher kann die neue Hamiltonsche Dichte (7) ohne eine nicht-lokale Feldneudefinition reproduziert werden.
Lassen Sie uns nun zu den Fragen von OP zurückkehren (v3): Ja,
$\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} \tilde{ϕ} := & \sqrt{m^{2} - \nabla^{2}} ϕ, \\ \sqrt{m^{2} - \nabla^{2}} := & m \sum_{n = 0}^{\infty} (\begin{matrix} 1 / 2 \\ n \end{matrix}) {(- \frac{\nabla^{2}}{m^{2}})}^{n}, \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} \widetilde{\phi}~:=~&\sqrt{m^2-{\bf \nabla}^2}\phi, \cr \sqrt{m^2-{\bf \nabla}^2}~:=~&m\sum_{n=0}^{\infty} \begin{pmatrix}1/2 \\ n \end{pmatrix} \left(-\frac{{\bf \nabla}^2}{m^2} \right)^n,\end{align} \tag{8}$ ist eine räumlich nicht lokale (aber zeitlich lokale) Feldneudefinition.

Da die Feldredefinition (8) keine Zeitableitungen enthält, sind noch Cauchy-Daten anzugeben $\widetilde{\phi}$ und seine zeitliche Ableitung auf einer Cauchy-Fläche. Keine Notwendigkeit für höhere Zeitableitungen.

Und ja, die Feldumdefinition (8) führt formal zur Hamiltonschen Dichte (7). Wie in Abschnitt 3 erwähnt, könnte jedoch bereits eine lokale kanonische Transformation (6) dieselbe Formulierung erreichen. Die nicht-lokale Feldredefinition (8) von OP entspricht einer nicht-lokalen kanonischen Transformation
$\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} \tilde{ϕ} := & (m^{2} - \nabla^{2})^{\frac{1}{2}} ϕ, \\ \tilde{π} := & (m^{2} - \nabla^{2})^{- \frac{1}{2}} π . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} \widetilde{\phi}~:=~&(m^2-{\bf \nabla}^2)^{\frac{1}{2}}\phi,\cr \widetilde{\pi}~:=~&(m^2-{\bf \nabla}^2)^{-\frac{1}{2}}\pi.\end{align}\tag{9}$
OP fragt in einem Kommentar, ob eine solche Art der nichtlokalen Feldneudefinition (8) in der Quantenfeldtheorie im Allgemeinen erlaubt ist? Es hängt davon ab, wer der Schiedsrichter ist. Ein Mathematiker würde sich wahrscheinlich darauf konzentrieren, ob die detaillierte Herleitung / der Beweis sinnvoll ist, während ein Physiker wahrscheinlich zufrieden sein würde, wenn das Endergebnis / Ziel sinnvoll ist.
OP berücksichtigt in einem Update (v5) die offensichtlich positive (aber nicht renormierbare) Hamilton-Dichte
$\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} H_{β} = & \frac{1}{2} {((1 + 2 β \nabla^{2})^{- \frac{1}{2}} π)}^{2} \\ + \frac{1}{2} {((1 + β \nabla^{2})^{\frac{1}{2}} \nabla ϕ)}^{2} \\ = & \frac{1}{2} {\tilde{π}}^{2} + \frac{1}{2} {(\sqrt{\frac{1 + β \nabla^{2}}{1 + 2 β \nabla^{2}}} \nabla \tilde{ϕ})}^{2} \\ \geq & 0, \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} {\cal H}_{\beta} ~=~&\frac{1}{2}\left((1+2\beta{\bf \nabla}^2)^{-\frac{1}{2}}\pi\right)^2\cr &+\frac{1}{2}\left((1+\beta{\bf \nabla}^2)^{\frac{1}{2}}{\bf \nabla}\phi\right)^2\cr ~=~&\frac{1}{2}\widetilde{\pi}^2 +\frac{1}{2}\left(\sqrt{\frac{1+\beta{\bf \nabla}^2}{1+2\beta{\bf \nabla}^2}}{\bf \nabla}\widetilde{\phi}\right)^2\cr~\geq~&0, \end{align}\tag{10}$ mit nichtlokaler kanonischer Transformation $\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} \tilde{ϕ} := & (1 + 2 β \nabla^{2})^{\frac{1}{2}} ϕ, \\ \tilde{π} := & (1 + 2 β \nabla^{2})^{- \frac{1}{2}} π . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} \widetilde{\phi}~:=~&(1+2\beta{\bf \nabla}^2)^{\frac{1}{2}}\phi,\cr \widetilde{\pi}~:=~&(1+2\beta{\bf \nabla}^2)^{-\frac{1}{2}}\pi.\end{align}\tag{11}$

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Howard

Diego Mazon

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QMechaniker

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