Nichtlokale Struktur der Feldtheorie

Kann jemand erklären, was die nicht-lokale Struktur der Feldtheorie ist? Ich weiß, dass du es nicht haben kannst ϕ ( X ) ϕ ( j ) Begriff in Lagrange, der die Nichtlokalität angibt. Aber warum kann ich die nicht-lokalen Terme nicht haben, solange ich die Kausalität beibehalten habe? In QFT sollte man keinen Operator wie schreiben ϕ ( X ) 2 was Singularitäten wie ergeben wird δ ( X − X ) wenn man OP macht? Wie soll ich die Lokalität in Feldtheorie und OPE-Sinn konsistent verstehen?

Antworten (3)

Die Situation ist subtiler als die anderen beiden Antworten vermuten lassen, wie das folgende Beispiel zeigt.

In D ≥ 2 Dimensionen, betrachte das euklidische Gaußsche Feld mit Propagator gegeben im Impulsraum durch

1 P D − 2 Δ
Wo Δ liegt im Intervall ( D − 2 2 , D 2 ) . Dies erfüllt die Unitaritätsgrenze und tatsächlich alle Osterwalder-Schrader-Axiome. Daher führt dies durch analytische Fortsetzung zum Minkowski-Raum zu einer QFT, die alle Gårding-Wightman-Axiome einschließlich der Lokalität erfüllt :
[ ϕ ( X ) , ϕ ( j ) ] = 0
Wenn X − j ist raumartig.

Andererseits ist die Lagrange-Funktion für dieses Modell nichtlokal.

Ich möchte nur hinzufügen, dass dies in einigen Zusammenhängen auch als verallgemeinerte freie Theorie oder mit Mittelwert gefüllte Theorie bezeichnet wird. Es ist jedoch nicht ganz richtig (im allgemeinsten Sinne), zu sagen, dass es lokal ist. Das Axiom, auf das Sie sich beziehen, bezieht sich auf Kausalität. Diese Theorie kann als Grenzdual des freien massiven Skalars im starren AdS-Raum beschrieben werden, und die Kausalität dieser Theorie beruht auf der Kausalität der Massentheorie. Allerdings ist diese Theorie nicht lokal im üblichen Sinne dieses Wortes, zB hat sie keinen Spannungs-Energie-Tensor.
Gibt es wirklich ein Problem mit Δ > D / 2 ?
@PeterKravchuk: "üblich" im üblichen Ortssinn hängt davon ab, welcher Gemeinde man angehört. Für CFT-Leute weiß ich, dass ein lokaler Spannungstensor normalerweise in der Definition von Lokalität enthalten ist. Für axiomatische QFT-Leute ist Lokalität normalerweise nur die raumartige Trennungskommutierung oben. Es ist auch der Hauptbestandteil der Definition von "lokal relativ zu", was zum Begriff der Borchers-Klasse führt. Außerdem bin ich es gewohnt, mir Gedanken über die Vertragsbedingungen zu machen, also habe ich genommen Δ < D / 2 um mein Leben einfacher zu machen. Aber sonst eine größere Δ ist gut.

Es ist unmöglich, die Kausalität mit einem nicht lokalen Operator aufrechtzuerhalten. Der Grund ist ganz einfach:

Wenn Sie nicht lokale Operatoren haben, enthält die Bewegungsgleichung Felder bei einem anderen Raumzeitereignis. Es gibt keine Möglichkeit aufzuzwingen, dass Informationen nur mit Lichtgeschwindigkeit übertragen werden können, da die Kommunikation von diesem anderen Raumzeitereignis zu Ihrer Position offensichtlich augenblicklich erfolgt.

Soll ich also sagen, die Lokalität impliziert die Bedingung der Kausalität. Oder sind sie in diesem Zusammenhang äquivalent (im Sinne von lokal, wenn und nur wenn kausal)?
Wenn Sie ein Feld (z. B. das Photon) herausintegrieren, erhalten Sie eine nicht-lokale Wechselwirkung (z. B. die Coulomb-Kraft), aber die Kausalität bleibt erhalten.

Wenn Sie sich vorstellen ϕ ( X ) ϕ ( j ) für X ≠ j , Sie postulieren eine Aktion in einer Entfernung , unabhängig davon, wie das Intervall zwischen den Ereignissen ist: zeitartig, null oder was auch immer. Mit anderen Worten, Sie lassen eine Essenz zu, die kein Feld ist, sondern sich direkt von Punkt zu Punkt durch die Raumzeit ausbreitet. Ich bin mir nicht sicher, ob Sie die Kausalität in einer solchen Theorie nicht behaupten können, aber es wird keine QFT sein, sondern eine Hybridtheorie. Es würde zwei konkurrierende Paradigmen verbinden: das eine eines Feldes und das andere einer Fernwirkung. Es könnte das Rasiermesserprinzip von Occam verletzen, bevor andere Probleme damit auftreten würden.

Nichtlokale Struktur der Feldtheorie
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