Was versteht man unter einer lokalen Lagrange-Dichte?

Was ist eine lokale Lagrange-Dichte?

Eine klassische Feldtheorie zum Minkowski-Raum$\mathbb R^{d,1}$wird durch ein Leerzeichen angegeben$\mathcal C$von Feldkonfigurationen$\phi:\mathbb R^{d,1}\to T$, und ein Aktionsfunktional$S:\mathcal C\to\mathbb R$. Der Satz$T$wird Zielraum der Theorie genannt und ist oft ein Vektorraum. Wenn es eine Funktion gibt$L:\mathcal C\times\mathbb R\to \mathbb R$wofür

$$\begin{align} S[\phi] = \int_{\mathbb R} dt\, L[\phi](t), \end{align}$$ dann rufen wir an $L$ein Lagrangian für die Theorie. Falls ferner eine Funktion existiert $\tilde L$so dass $$\begin{align} L[\phi](t) = \int_{\mathbb R^d} d^d\mathbf x \,\tilde L[\phi](t, \mathbf x) \end{align}$$ dann rufen wir an $\tilde L$eine langrangische Dichte für die Theorie. Schließlich, wenn es eine positive ganze Zahl gibt $n$und eine Funktion $\mathscr L$so dass $$\begin{align} \tilde L[\phi](t, \mathbf x) = \mathscr L(t,\mathbf x,\phi(t, \mathbf x), \partial\phi(t,\mathbf x), \dots, \partial^n\phi(t,\mathbf x)) \end{align}$$ dann sagen wir, dass die Lagrange-Dichte lokal ist . Mit anderen Worten, die Lagrange-Dichte ist lokal, vorausgesetzt, ihr Wert an einem bestimmten Raumzeitpunkt hängt nur von diesem Punkt, dem Wert des Felds an diesem Punkt und einer endlichen Anzahl seiner Ableitungen an demselben Punkt ab.

Ein Beispiel für eine nicht-lokale Lagrange-Dichte.

In Betracht ziehen$T = \mathbb R$, nämlich eine Theorie eines einzelnen reellen Skalarfeldes. Lassen$\mathbf a\in\mathbb R^d$gegeben sein, und definieren Sie eine Lagrange-Dichte durch

$$\begin{align} \tilde L[\phi](t,\mathbf x) = \phi(t,\mathbf x) + \phi(t, \mathbf x+\mathbf a). \end{align}$$ Diese Lagrange-Dichte ist nicht lokal, da der Wert des Lagrange an einem bestimmten Punkt $(t,\mathbf x)$hängt vom Wert des Feldes an diesem Punkt und vom Wert des Feldes an diesem Punkt ab $(t,\mathbf x+\mathbf a)$. Wenn wir nach Taylor den zweiten Term erweitern würden $\phi(t,\mathbf a)$um $\mathbf x$, dann würden wir sehen, dass die Lagrange-Dichte von einer unendlichen Anzahl von Ableitungen des Feldes abhängt, wodurch die Definition einer lokalen Lagrange-Dichte verletzt würde.

Was ist das Problem mit Theorien mit nicht-lokalen Lagrange-Dichten?

Ich bin kein Experte auf diesem Gebiet, also leite ich zu einem anderen Benutzer um. Ich werde jedoch sagen, dass Leute Theorien mit nicht-lokalen Lagrange-Dichten in der Praxis studieren, also ist a priori nichts "falsch" an ihnen, aber sie könnten allgemein eine Pathologie aufweisen, die Sie vielleicht lieber nicht haben würden.

Vielleicht am relevantesten, wenn Sie QFT beispielsweise von einem Hochenergietheoretiker nehmen, ist, dass die Lagrange-Dichte des Standardmodells lokal ist, sodass Sie nicht lokale Bestien berücksichtigen müssen, wenn Sie das Standardmodell studieren .