Lokale versus nicht-lokale Funktionale

Ja, in solchen Kontexten gibt es strenge Möglichkeiten, den Ort zu definieren, aber die genaue Terminologie, die verwendet wird, hängt leider sowohl vom Kontext als auch davon ab, wer die Definition vornimmt.

Lassen Sie mich einen Beispielkontext und eine Definition geben.

Beispiel Kontext/Definition.

Der konzeptionellen Einfachheit halber lassen$\mathcal F$bezeichnen eine Menge glatter, schnell abfallender Funktionen$f:\mathbb R\to \mathbb R$. Ein funktionales $\Phi$An$\mathcal F$ist eine Funktion$\Phi:\mathcal F\to \mathbb R$.

Eine Funktion (noch kein funktionales on$\mathcal F$)$\phi:\mathcal F\to\mathcal F$heißt lokal , sofern eine positive ganze Zahl existiert$n$, und eine Funktion$\bar\phi:\mathbb R^{n+1}\to\mathbb R$wofür

$$\begin{align} \phi[f](x) = \bar\phi\big(x, f(x), f'(x), f''(x), \dots, f^{(n)}(x)\big) \tag{1} \end{align}$$ für alle $f\in \mathcal F$und für alle $x\in\mathbb R$. Mit anderen Worten, eine solche Funktion ist lokal, vorausgesetzt, sie hängt nur von ab $x$, der Wert der Funktion $f$bei $x$, und den Wert einer endlichen Anzahl von Ableitungen von $f$bei $x$.

Ein funktionales$\Phi$heißt Integralfunktional, sofern es eine Funktion gibt$\phi:\mathcal F\to\mathcal F$so dass

$$\begin{align} \Phi[f] = \int_{\mathbb R} dx \, \phi[f](x). \tag{2} \end{align}$$ Ein Integralfunktional $\Phi$heißt lokal, vorausgesetzt, es gibt eine lokale Funktion $\phi:\mathcal F\to\mathcal F$wofür $(2)$hält.

Was hätten wir anders definieren können?

Einige Autoren erlauben möglicherweise keine Ableitungen in der Definition$(1)$, oder könnte etwas mit Ableitungen semilokal nennen . Das ergibt einen intuitiven Sinn, denn wenn Sie an eine Taylor-Erweiterung einer Funktion denken, sagen wir, in der Kalkül mit einer einzigen Variablen, erhalten Sie

$$\begin{align} f(x+a) = f(x) + f'(x)a + f''(x)\frac{a^2}{2} + \cdots, \end{align}$$ und wenn du willst $a$groß sein, nämlich wenn man Informationen darüber haben möchte, was die Funktion noch lange nicht macht $x$(nicht-lokales Verhalten), dann braucht man mehr abgeleitete Begriffe, um das zu spüren. Je mehr Ableitungen Sie berücksichtigen, desto mehr spüren Sie das "nicht-lokale" Verhalten der Funktion.

Man kann auch auf Situationen verallgemeinern, in denen die beteiligten Funktionen auf Mannigfaltigkeiten liegen oder nicht glatt, sondern vielleicht nur endlich oft differenzierbar sind usw., aber dies sind nur Details und erhellen meiner Meinung nach das Konzept nicht.

Beispiel 1 – eine lokale Funktion.

Angenommen, wir definieren eine Funktion$\phi_0:\mathcal F\to \mathcal F$folgendermaßen:

$$\begin{align} \phi_0[f](x) = f(x), \end{align}$$ Dann $\phi_0$ist eine lokale Funktion $\mathcal F\to\mathcal F$, und es ergibt sich ein lokales Integralfunktional $\Phi_0$gegeben von $$\begin{align} \Phi_0[f] = \int_{\mathbb R} dx\, \phi_0[f](x) = \int_{\mathbb R} dx\, f(x), \end{align}$$ der die Funktion einfach über die reale Leitung integriert.

Beispiel 2 – eine weitere lokale Funktion.

Betrachten Sie die Funktion$\phi_a:\mathcal F\to\mathcal F$wie folgt definiert:

$$\begin{align} \phi_a[f](x) = f(x+a). \end{align}$$ Ist das $\phi_a$lokal? Nun, für $a=0$es ist sicherlich, da es mit übereinstimmt $\phi_0$. Was für $a\neq 0$? Gut für so einen Fall $\phi_a$sicherlich nicht, weil $f(x+a)$hängt von beidem ab $f(x)$und auf unendlich vielen Ableitungen von $f$bei $x$. Was ist mit der Funktion $\Phi_a$durch Integration erhalten $\phi_a$? Beachte das $$\begin{align} \Phi_a[f] &= \int_{\mathbb R} dx\,\phi_a[f](x) \\ &= \int_{\mathbb R} dx\, f(x+a) \\ &= \int_{\mathbb R} dx\, f(x) \\ &= \int_{\mathbb R} dx\, \phi_0[f](x)\\ &= \Phi_0[f]. \end{align}$$ So $\Phi_a[f]$ist zwar lokal $\phi_a$ist nicht für $a\neq 0$.

Die Lehre aus diesem Beispiel ist folgende: Sie können auf ein Integralfunktional stoßen$\Phi:\mathcal F\to\mathbb R$die durch Integration über eine nichtlokale Funktion definiert wird$\phi:\mathcal F\to\mathcal F$. Es könnte jedoch immer noch eine Möglichkeit geben, die Funktion zu schreiben$\Phi$als Integral über eine andere Funktion, sagen wir$\phi'$, das ist lokal, in diesem Fall können wir das behaupten$\Phi$ist auch lokal, denn um zu verifizieren, dass eine Funktion lokal ist, müssen Sie nur eine Möglichkeit finden, sie als Integral einer lokalen Funktion zu schreiben.