Lokalität definiert anhand der Lagrange-Dichte

Ich habe das Buch „Quantum Field Theory and the Standard Model “ von Matthew Schwartz gelesen und in Kapitel 24 gibt es einen Abschnitt über die Lokalität (Abschnitt 24.4). Darin definiert er die Lokalität im Sinne der Lagrange-Aussage

„Wir verstehen unter Lokalität, dass die Lagrange-Funktion ein Integral über eine Lagrange-Dichte ist, die eine Funktion von Feldern und ihren Ableitungen ist, die am selben Punkt ausgewertet werden.“

Was alles schön und gut ist, aber dann führt er das weiter aus, um das zu sagen

„Um es klar zu sagen, diese Definition ist mathematisch, nicht physikalisch: Sie ist eine Eigenschaft unseres Berechnungsrahmens, nicht von Observablen. “

Dieser Teil verwirrt mich, da ich dachte, dass die ganze Motivation physikalisch wäre, dh dass Objekte an verschiedenen Raumzeitpunkten nicht in der Lage sein sollten, direkt miteinander zu interagieren? Da die Lagrange-Dichte die Dynamik eines physikalischen Systems an einem gegebenen Raumzeitpunkt charakterisiert und die Lokalität verlangt, dass die Dynamik des Systems an diesem gegebenen Punkt nur vom Zustand des Systems an diesem Punkt abhängen sollte ( dh die Feldkonfiguration und wie sie sich an diesem Punkt ändert), dann sollte die Lagrange-Dichte eindeutig von nicht mehr als dem Zustand des Systems an diesem Punkt abhängen, dh der Feldkonfiguration und ihrer Änderungsrate (in der Raumzeit)?! Vielleicht übersehe ich etwas?

@Qmechanic Danke für den Link. Leider habe ich diese Antwort bereits gelesen und sie hat nicht wirklich geholfen.
Spricht der Autor nur von 24.108 gegenüber 24.109, einer ist "lokal", der andere ist "nicht lokal", aber als Niedrigenergietheorien sind sie ähnlich?
@Timaeus Ja, ich denke schon - wenn man eine Grenzskala definiert, dann gewinnen wir eine lokale Theorie zurück. Mein Problem war jedoch insbesondere die Aussage, dass die Tatsache, dass wir die Felder und ihre Ableitungen an einem einzigen Raumzeitpunkt auswerten, eine mathematische Definition und keine physikalische ist. Ich dachte, die Intuition sei physikalisch, dh dass Objekte an verschiedenen Raumzeitpunkten nicht in der Lage sein sollten, direkt zu interagieren, und dass dies mathematisch implementiert wird, indem verlangt wird, dass alle in der Lagrange-Dichte enthaltenen Objekte am selben Raumzeitpunkt bewertet werden. Ich bin etwas verwirrt!
Er sagt wahrscheinlich nur, dass wir "nichtlokale Observablen" wie gut berechnen können ⟨ φ ( X ) φ ( j ) ⟩ selbst wenn X Und j sind raumartig getrennt und erhalten möglicherweise eine Korrelation ungleich Null.

Antworten (1)

Für eine klassische Feldtheorie oder eine klassische Feld- und Teilchentheorie möchten Sie die Dynamik dieses stationären Pfads. (Oder die Dynamik eines der stationären Pfade.) Aber Sie berücksichtigen alle Arten von Dynamiken und lehnen einfach diejenigen ab, die keine stationäre Wirkung haben.

Wenn Sie wissen, dass die Euler-Lagrange-Gleichungen, die Sie anstreben, nur Ableitungen an Punkten haben / sein werden, ist es sinnvoll, damit zu beginnen, da dies einfacher zu erreichen ist.

Für eine Quantenfeldtheorie muss man sich zurücklehnen und fragen, welche Observablen man anstrebt. Eine Möglichkeit ist, dass Sie eine Streumatrix berechnen. In diesem Fall könnten sich Ihre Observablen gewissermaßen auf schalenfreien Teilchenzuständen befinden.

Wenn Sie es als Unterscheidung zwischen On-Shell- und Off-Shell-Interaktionen betrachten möchten, ist dies möglicherweise das, wonach Sie streben.

Off-Shell-Interaktionen sind nicht das, wonach Sie als Teil Ihrer Observables suchen. Es geht also nur um die Mathematik, die Sie verwenden, um Beziehungen zwischen On-Shell-Zuständen zu beschreiben.

Es scheint also keine große Sache zu sein, ob Ihre Dichte in Form von Ableitungen des Feldes geschrieben ist oder nicht. Was zählt, ist, ob Sie alle Rechte an Shell-Zuständen aufgenommen haben und die Beziehungen zwischen ihnen richtig verstanden haben.

Es gibt keinen Ort für einen On-Shell-Zustand, sie sind eher in dem Sinne getrennt, dass sie ungefähr frei sind, als dass sie ungefähre Orte haben, die sich nicht überschneiden. Aber die physische Unterscheidung und die Observablen sind wahrscheinlich die On-Shell-Zustände und ihre Beziehungen. Die Mathematik ist nur, wie Sie sie berechnen. Bei der Lokalität könnte es also darum gehen, wie Sie die Beziehungen berechnen. Daher ist das Streben nach lokal oder nicht lokal möglicherweise nicht der Schlüssel im Vergleich zum Recht auf Shell-Zustände und Beziehungen zwischen ihnen.

Ich konnte Seite 475 nicht lesen, also könnte ich völlig falsch liegen, was der Autor beabsichtigt hat.

Ist es also einfach, dass man ein Objekt aus Quantenperspektive physikalisch nicht auf einen einzigen Punkt lokalisieren kann, aber in unserer mathematischen Beschreibung definieren wir Lokalität so, dass die mathematischen Darstellungen solcher Objekte (z. B. Felder) an einzelnen Punkten und in ausgewertet werden stellen wir so sicher, dass Wechselwirkungen kontinuierlich vermittelt werden (wodurch Energieeinsparung sichergestellt wird)? Ist es richtig zu sagen, dass eine lokale Funktion im Allgemeinen eine Funktion ist, deren Wert an einem einzigen Punkt nur von den Werten ihrer Variablen an diesem einzigen Punkt abhängt?
@ Will Nein. Die Physik sind die Frequenzen der Observablen, die Sie dynamisch erhalten. Bei der Definition von Lokalität, die Sie in diesem Zusammenhang zitieren, geht es darum, wie Sie die von Ihnen verwendete Mathematik benennen. Und Energieeinsparung geschieht nur aufgrund der beteiligten Symmetrien. Die beteiligten Symmetrien haben ihre eigene (unterschiedliche) Art von Lokalität. Eine physische Art von Lokalität, nicht diese neue mathematische.
Ist es im rein mathematischen Sinne jedoch richtig zu sagen, dass eine lokale Funktion im Allgemeinen eine Funktion ist, deren Wert an einem einzelnen Punkt nur von den Werten ihrer Variablen an diesem einzelnen Punkt abhängt?
Lokalität definiert anhand der Lagrange-Dichte
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