Warum ist die Lagrange-Dichte mit Wechselwirkungen korrekt?

In der klassischen Mechanik dürfen die Lagrangianer zweier Teilchen nur addiert werden, wenn die Teilchen nicht wechselwirken.

Das würde ich nicht sagen. Sie können immer einen Lagrange schreiben$L$für ein System aus zwei Teilchen. Im Allgemeinen nimmt es die Form an

$$L = L_1 + L_2 + L_i$$

Wo$L_i$ist ein Wechselwirkungsterm, der von den Koordinaten und/oder Geschwindigkeiten beider Teilchen abhängt. Genau dann, wenn die Teilchen nicht interagieren,$L_i = 0$, und nur in diesem Fall können Sie die Lagrange-Funktion als Summe einzelner Teilchen-Lagrange-Funktion schreiben$L_1$Und$L_2$.

Eine ähnliche Idee gilt in der Quantenfeldtheorie. Denken Sie daran, dass QFT-Lagrange-Dichten Formen wie annehmen

$$\mathcal{L}(\phi, \partial\phi) \sim (\partial\phi)^2 - m^2\phi^2 - \sum_n g_n\phi^n$$

Natürlich gibt es viele verschiedene Arten, aber im Allgemeinen gibt es immer einen kinetischen Term, der die Ableitungen der Felder beinhaltet, und andere Terme, die entweder die Masse des Feldes oder Wechselwirkungen zwischen dem Feld und sich selbst oder anderen Feldern darstellen.

Nun, in gewissem Sinne ist eine Ableitung eine Möglichkeit, die Werte eines Objekts an verschiedenen Raumzeitpunkten zu koppeln. Es sollte also sinnvoll sein, dass der kinetische Term der eigentlichen Lagrangian ist

$$L_\text{kin} \sim \int\mathrm{d}^3\mathbf{x}\ (\partial\phi)^2$$

koppelt die Werte des Feldes$\phi$an verschiedenen Punkten in der Raumzeit. Dies ist analog zum Begriff$L_i$im klassischen Lagrange, der die Koordinaten mehrerer Teilchen beinhaltet, außer dass hier Koordinaten durch Felder und Teilchen durch Orte ersetzt werden. Sie haben also einen Begriff, der die Felder an verschiedenen Raumzeitpunkten koppelt.

Beachten Sie jedoch, dass es im Rest der Lagrange-Funktion keine Ableitungen gibt. Das bedeutet, dass es außerhalb des kinetischen Begriffs keine Verbindung zwischen dem gibt, was an verschiedenen Punkten in der Raumzeit passiert. Insbesondere die Interaktionsbedingungen

$$\int\mathrm{d}^3\mathbf{x}\ \sum_n g_n\phi^n$$

sind lokal, was bedeutet, dass alle Feldwechselwirkungen an einem einzigen Raumzeitpunkt stattfinden. Dies ist eine einfache Methode, um sicherzustellen, dass Interaktionen nicht unterschiedlich ablaufen, wenn sie von verschiedenen Referenzrahmen aus betrachtet werden. Es ist also kein Problem, die Wechselwirkungsterme über den gesamten Raum zu integrieren.

Sie verwechseln die Konzepte "Interaktionen" und "Nichtlokalität". In realistischen Feldtheorien, einschließlich aller Theorien, die wir jemals verwendet haben, um Phänomene in der Welt um uns herum zu untersuchen, existieren die Wechselwirkungen, aber sie halten die Physik lokal.

Wie David erwähnt hat, nimmt die Lagrange-Dichte die Form an

$${\mathcal L} = \sum_i \left[ (\partial_\mu \phi_i)^2 + m^2 \phi_i^2 \right] + O(\phi^{3+n})$$ Die Summe vorbei $i$der Terme bilinear in $\phi$oder seine ersten Ableitungen erzeugt die freien Teilchen. Aber die übergeordneten Begriffe - das habe ich nur unter die geschrieben $O$Symbol - die kubisch, quartisch oder von noch höherer Ordnung sind - sind für alle Wechselwirkungen verantwortlich.

Insbesondere die elektromagnetische Wechselwirkung zwischen zwei geladenen Objekten läuft auf ihre gemeinsame Wechselwirkung mit dem elektromagnetischen Feld über die Wechselwirkung hinaus

$${\mathcal L_{em}} = j_\mu A^\mu$$ Wo $j_\mu$ist der 4-Vektor, der die Ladungsdichte und den Fluss enthält. Aufgrund dieses lokalen Terms an einem Punkt wird das elektromagnetische Feld durch die erste Ladung gestört. Das elektromagnetische Feld $A^\mu$breitet sich weiter zu einem anderen Ladungsteilchen aus, ähnlich wie in einem freien Feld, und dann "klickt" der lokale Wechselwirkungsterm des obigen Typs erneut und lässt das zweite Teilchen entsprechend der Position und Ladung des ersten Teilchens beschleunigen.

Diese Beschreibung ist besonders optimiert für die Quantenfeldtheorie, wo das Photon das virtuelle Teilchen genannt wird – oder ein Bote der Wechselwirkung. Aber auch in der klassischen Feldtheorie kann man eine ähnliche Sprache verwenden. Auch die Lagrangedichte einer klassischen Feldtheorie, die die elektromagnetischen Wechselwirkungen mit geladener Materie beschreibt, hat eine lokale Form.

Soweit ich weiß, schlugen Sie vor, dass es bilokale oder anderweitig nicht lokale Begriffe im Lagrange gibt

$$L = \int d^{d-1} x\,{\mathcal L}_{local} + \int d^{d-1} x\, d^{d-1} y\, F(x) G(y)$$ was direkt einige Dichten anziehen oder abstoßen würde $F,G$die an jedem Punktpaar existieren $x,y$, Rechts? Das funktioniert in der Feldtheorie auf der fundamentalen Ebene nie. Die obige Lagrange-Funktion ist nicht lokal – sie ist kein Integral einer Dichte – also Felder am Punkt $x$sofort von Feldern an jedem anderen Punkt beeinflusst würde $y$. Dies würde gegen die Lokalität verstoßen – eine Fernwirkung – und es würde der Relativitätstheorie widersprechen, denn in Verbindung mit dem Relativitätsprinzip bedeutet eine Verletzung der Lokalität auch eine Verletzung der Kausalität (die Regel, dass Ursachen ihren Wirkungen vorausgehen müssen).

Der obige bilokale Lagrange-Operator kann jedoch "ungefähr abgeleitet" werden, indem "das elektromagnetische Feld herausintegriert" wird. Ich kann nicht genau erklären, was es bedeutet, zumal dieser Begriff nur in der Quantenmechanik gebräuchlich ist (in der klassischen Physik entspricht er "lösen".$A_\mu$weg von den Gleichungen"). Lassen Sie mich jedoch nur die Schlussfolgerung sagen. Die bilokalen Wechselwirkungsterme zwischen zwei Ladungen, an die Sie denken, können "ungefähr" von dem vollständig lokalen Lagrange abgeleitet werden, mit dem ich begonnen habe.

Da die spezielle Relativitätstheorie eine gut etablierte Tatsache über die Realität ist und wir niemals eine "Fernwirkung" beobachtet haben - oder Wechselwirkungen zwischen zwei getrennten Körpern auftreten, weil ein "Bote" sich entlang eines Pfades bewegen muss, der die beiden Objekte verbindet - Alle Lagrange-Funktionalitäten der Feldtheorien, die wir je untersuchen, sind als Integrale einer Lagrange-Dichte geschrieben. Diese Funktion wird als "Lokalität" bezeichnet.