ϕnϕn\phi^{n} quantenskalare Feldtheorien, bei denen nnn keine ganze Zahl ist

Question

ϕnϕn\phi^{n} quantenskalare Feldtheorien, bei denen nnn keine ganze Zahl ist

Physik
Lokalität
Feldtheorie
Interaktionen
Quantenfeldtheorie

Alptraum

Betrachten Sie eine quantenskalare Feldtheorie mit Wechselwirkungstermen der Form $\phi^{n}$ , Wo $n$ ist keine ganze Zahl.

Wo sind einige Beispiele für umfassend untersuchte Quantenfeldtheorien, die solche Wechselwirkungsterme beinhalten?

Arthur Suworow

Ich vermute, Sie werden keine Theorien finden, die "physikalisch" sind. Typisch

n

$n$ ist ganzzahlig, da Sie eine Verkürzung eines echten Potenzials berücksichtigen

V (ϕ)

$V(\phi)$ bis zu einer gewissen Ordnung

n

$n$ unter Verwendung einer Taylor-Entwicklung; beliebig

ϕ^{n}

$\phi^n$ Theorie ist auch nicht wirklich eine physikalische Theorie, sondern eher eine Annäherung. Sie werden auch einige ernsthafte Probleme mit dem Schneiden von Zweigen haben. Sie sollten jedoch einige coole Dispersionsbeziehungen erhalten!

Alptraum

Ok, ich nehme an, es macht keinen Sinn, Theorien zu berücksichtigen, wo

n

$n$ ist keine Ganzzahl, weil die Motivation für die Ganzzahl-

n

$n$ Wechselwirkungsterme ergeben sich aus der Erweiterung eines beliebigen Potentials

V (ϕ)

$V(\phi)$ . Lassen Sie mich also meine Frage ändern, um zu fragen, ob solche Studien zu nicht ganzzahligen

n

$n$ Interaktionsbedingungen wurden überhaupt durchgeführt. :)

Blazej

Soweit ich weiß, ist es im Allgemeinen sehr problematisch, Theorien mit Lagrange-Operatoren/Bewegungsgleichungen zu quantisieren, die keine Polynome sind.

yuggib

@Blazej In der Tat; dies liegt daran, dass das Quantisierungsverfahren in unendlichdimensionalen Systemen im Allgemeinen sehr kompliziert zu verstehen ist (im Wesentlichen aufgrund der Tatsache, dass das Lebesgue-Maß nicht existiert). Außerdem ist es schon schwierig genug, QFTs mit Standard-Polynom-Wechselwirkungen zu verstehen ;-P

Antworten (1)

ϕnϕn\phi^{n} quantenskalare Feldtheorien, bei denen nnn keine ganze Zahl ist

Ich vermute, Sie werden keine Theorien finden, die "physikalisch" sind. Typisch $n$ ist ganzzahlig, da Sie eine Verkürzung eines echten Potenzials berücksichtigen $V(\phi)$ bis zu einer gewissen Ordnung $n$ unter Verwendung einer Taylor-Entwicklung; beliebig $\phi^n$ Theorie ist auch nicht wirklich eine physikalische Theorie, sondern eher eine Annäherung. Sie werden auch einige ernsthafte Probleme mit dem Schneiden von Zweigen haben. Sie sollten jedoch einige coole Dispersionsbeziehungen erhalten!
Ok, ich nehme an, es macht keinen Sinn, Theorien zu berücksichtigen, wo $n$ ist keine Ganzzahl, weil die Motivation für die Ganzzahl- $n$ Wechselwirkungsterme ergeben sich aus der Erweiterung eines beliebigen Potentials $V(\phi)$ . Lassen Sie mich also meine Frage ändern, um zu fragen, ob solche Studien zu nicht ganzzahligen $n$ Interaktionsbedingungen wurden überhaupt durchgeführt. :)
Soweit ich weiß, ist es im Allgemeinen sehr problematisch, Theorien mit Lagrange-Operatoren/Bewegungsgleichungen zu quantisieren, die keine Polynome sind.
@Blazej In der Tat; dies liegt daran, dass das Quantisierungsverfahren in unendlichdimensionalen Systemen im Allgemeinen sehr kompliziert zu verstehen ist (im Wesentlichen aufgrund der Tatsache, dass das Lebesgue-Maß nicht existiert). Außerdem ist es schon schwierig genug, QFTs mit Standard-Polynom-Wechselwirkungen zu verstehen ;-P

David Bar Mosche · Answer 1

Eine Störungstheorie, in der die Differenz der $\phi^n$ Exponent von 2 wird genommen, da der Störungsparameter von Bender, Milton, Moshe, Pinsky und Simmons in ihrem Artikel vorgeschlagen wurde : Neuartiges Störungsschema in der Quantenfeldtheorie.

Diese Methode heißt $\delta$ - Erweiterung.

Bitte lesen Sie den folgenden Artikel , in dem die Grundlagen der Methode in Abschnitt 2 erläutert werden.

Der grundsätzliche Aufbau des Verfahrens basiert auf der folgenden Taylor-Zerlegung des Wechselwirkungsterms:

(ϕ^{2})^{1 + δ} = ϕ^{2} + \sum_{N = 1}^{\infty} \frac{δ^{N}}{N!} ϕ^{2} (l Ö G (ϕ^{2}))^{N}

$(\phi^2)^{1+\delta} = \phi^2 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\delta^n}{n!}\phi^2 (\mathrm{log}(\phi^2))^n$

Das kann man ja beobachten $\delta = 0$ , der Wechselwirkungsterm ist quadratisch und die Theorie ist frei, während wann $\delta = 1$ , die Theorie wird zum Üblichen $\phi^4$ Theorie. Bei der Delta-Expansion-Analyse wird das effektive Quantenpotential reihenfolgeweise um die entsprechende freie Theorie herum berechnet $\delta = 0$ . Die erhaltene Theorie ist störungsintensiv $\delta$ aber nicht störend in der Kopplungskonstante und der Masse.

Jede Ordnungsberechnung beinhaltet einen logarithmischen Wechselwirkungsterm. Dieser Term wird als Grenze einer Ableitung einer Potenz behandelt

l Ö G (X) = lim_{k \to 0} \frac{D}{D k} X^{k}

$\mathrm{log}(x) = \lim_{k \to 0} \frac{d}{dk}x^k$

Somit werden die Berechnungen für eine Polynomtheorie durchgeführt $(\phi^2)^k$ aber nur die führenden Terme in k for $k \rightarrow 0$ müssen berechnet werden. Für eine solche Theorie werden die Eckpunkte der Feynman-Diagramme von sein $2k$ Linien. Außerdem ist es möglich, Variationsrechnungen nacheinander durchzuführen $\delta$ .

Diese Erweiterung lieferte hervorragende Ergebnisse für Probleme in der Quantenmechanik und lösbare Modelle in 1+1-Dimensionen.

Der $\delta$ Expansion wurde verwendet, um die Trivialität von zu argumentieren $\phi^4$ Theorie, lieferte aber keinen endgültigen Beweis. Einige Arbeiten wurden an seiner Anpassung an Theorien mit Fermionen (linear $\delta$ Expansion), Eichtheorie und Modelle in der statistischen Physik.

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Arthur Suworow

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Blazej

yuggib

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David Bar Mosche

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