Warum impliziert die Ableitung unendlicher Ordnung in der Lagrange-Dichte nicht lokal?

Es gibt eine Hausaufgabe in Feldtheorie. Es besagt, dass die negative Ordnung der Ableitung (wie z$\frac{1}{\nabla^2}$), Bruchordnung der Ableitung (wie z$\nabla^{2/3}$) und Ableitung unendlicher Ordnung im Allgemeinen können in einer lokalen Feldtheorie nicht vorkommen.

Es ist leicht zu beweisen:

$$\frac{1}{\nabla^2} \phi(x)= -\int d^3k \frac{1}{k^2} \tilde\phi(k) e^{ikx} \propto \int d^3y \frac{1}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|}\phi(y)$$ Es ist also nichtlokal.

Auf die gleiche Weise,

$$\nabla^{2/3} \phi(x)\propto \int d^3k k^{2/3}\tilde{\phi}(k )\propto \int d^3y \frac{1}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|^{8/3}}\phi(y)$$ Auch nichtlokal.

Aber ich kann nicht beweisen, warum die Ableitung unendlicher Ordnung nicht lokal impliziert? Zum Beispiel$e^{\nabla^2}\phi(x)$sollte nur von Mengen auf Punkt abhängen$x$. Ich versuche auch zu argumentieren

$$\sum_{n=0}^{\infty} (\nabla^2)^{n}=\frac{1}{1-\nabla^2}$$ Aber ich denke, es ist nicht wahr, da $$\sum_{n=0}^{\infty} (\nabla^2)^{n} \phi(x)=\int d^3k \sum_{n=0}^\infty k^{2n} \tilde{\phi}(k)$$ nur wenn $k<1$, obige Mengen können gleich sein $\int d^3k \frac{1}{1-k^2} \tilde{\phi}(k)$.

Ist also jede Ableitungstheorie unendlicher Ordnung imlpys nichtlokal, oder gibt es eine Ableitungstheorie unendlicher Ordnung, die nichtlokal ist?

Geben Sie mir ein konkretes Beispiel für die Ableitungstheorie unendlicher Ordnung, die nicht lokal ist.