Wenn :V(ϕ)::V(ϕ)::V(\phi) : nicht-lokal im Raum ist, bedeutet das, dass die wechselwirkende Quantenfeldtheorie nicht-lokal ist?

Nein, das bedeutet nicht, dass die Quantenfeldtheorie nicht-lokal ist. Die Tatsache, dass es Operatoren gibt, die bei raumartiger Trennung genau (anti)pendeln, bleibt auf der Interaktionsebene genau gültig.

Ihre Argumentation basiert auf einer fehlerhaften Annahme. Es ist nicht wahr, dass der Wechselwirkungsterm höherer Ordnung im Hamilton-Operator normal geordnet sein sollte. Der richtige Interaktions-Hamiltonian sollte "wie er ist" ohne normale Reihenfolge geschrieben werden.

Die Ableitung von Feynman-Regeln für Streuamplituden in der Operatorsprache und im Interaktionsbild erfordert die Berechnung der Matrixelemente von$S$im Ausgangs- und Endzustand. Die Matrix$S$ist die zeitlich geordnete Exponentialfunktion:

$$S \approx T \left[i \exp\int dt\,H_I \right]$$ Entschuldigung, wenn es sein sollte $-i$vor $H_I$. Es gibt keine normale Reihenfolge in dieser Formel, weshalb es keine Nicht-Lokalität des Interaktionsterms gibt; stattdessen gibt es eine zeitliche Ordnung von allem.

Über den Satz von Wick kann diese zeitlich geordnete Exponentialfunktion, wenn sie über die Taylor-Entwicklung erweitert wird, über die Kontraktionen geschrieben werden

$$C(x_1,x_2) = \langle 0 | T (\phi_1 \phi_2) | 0\rangle = i\Delta_F(x_1-x_2)$$ das ist der Standard-Feynman-Propagator, verbunden mit $i/(k^2-m^2+i\epsilon)$im Impulsraum. Aber die Kontraktion ist die Differenz des zeitlich geordneten (aber nicht normal geordneten) Produkts zweier Operatoren, die immer in der Definition der S-Matrix vorkommen, und des normal geordneten (aber nicht mehr zeitgeordneten) Produkts, was bei der Auswertung der Matrixelemente einfach zu handhaben ist.

In der Tat denke ich, dass Sie eine nicht-lokale Theorie erhalten würden, wenn Sie einen Hamilton-Operator für Wechselwirkungen höherer Ordnung mit der extranormalen Ordnung hinzufügen würden, aber so werden QFTs nicht definiert.

Sie werden vielleicht unzufrieden sein, dass der Interaktions-Hamilton-Operator ohne die normale Ordnung zu unendlichen Matrixelementen usw. führt. In der Tat wird es so sein. Aber es gibt viele andere Unendlichkeiten ähnlicher Art, und alle müssen durch den Prozess der Renormierung behandelt werden.

Die Idee, dass die Hamilton-Wechselwirkung normal geordnet sein sollte, ist wahrscheinlich ein fehlerhaftes Artefakt der Intuition, die Unendlichkeiten "so schnell wie möglich" loszuwerden. Für freie Quantenfeldtheorien kann man endliche Vorschriften - ohne Renormierung - für Größen wie die Gesamtenergie und die Gesamtladung definieren, und die normale Ordnung ist hilfreich, um dies einfach zu tun.

Aber diese Behandlung von freien Quantenfeldtheorien ist nicht nützlich, um viele andere Unendlichkeiten loszuwerden, die erscheinen, sobald die Wechselwirkungen eingeschlossen sind. Um mit ihnen fertig zu werden, braucht man eine Renormalisierung. Die normale Anordnung der Hamilton-Wechselwirkung ist nicht nur nutzlos, um die Unendlichkeiten loszuwerden: Sie wäre auch schädlich, weil sie, wie Sie richtig bemerkt haben, Nicht-Lokalitäten erzeugen würde. (Es sei denn, die Theorie wäre durch eine Feldneudefinition einer lokalen Feldtheorie äquivalent, und ich sehe keinen offensichtlichen Weg, wie dies passieren könnte.)

Soweit ich sehen kann, erscheint dieser triviale Fehler - die Wechselwirkung Hamilton-normal geordnet zu machen - bei einigen Behandlungen der Quantenfeldtheorie im Rahmen der "axiomatischen" oder "algebraischen" Quantenfeldtheorie, weshalb diese Ansätze zumindest in Einige ihrer Versionen sind sowohl mit der Renormierung als auch mit der Lokalität vollständig inkompatibel.

Ich stimme einem Teil der Antwort von Motl zu, dass es sich bei der gewöhnlichen Behandlung von QFT wirklich um das ungeordnete Polynom handelt$V(\phi)$das wird zum freien Hamiltonian hinzugefügt.

Aber für das, was es wert ist, denke ich, das normal geordnete Polynom$N(V(\phi))$ist eigentlich lokal. Zugegeben, Sie haben Recht, wenn Sie a priori befürchten , dass dies nicht der Fall sein könnte, da allgemeine Summen von Produkten von Leiteroperatoren wirklich nicht lokal sind.

Hier ist mein Argument$N(V(\phi))$ist lokal; korrigiere mich, wenn ich falsch liege. Lassen Sie uns den Fall behandeln$V(\phi)=\phi^n$für sogar$n$. Wir werden durch Induktion in gerade argumentieren$n$. Angenommen, wir haben es bewiesen$N(\phi^m)$ist für alle sogar lokal$m<n$. Nach dem Satz von Wick, sagen wir die hier auf Wikipedia ausgedrückte Version , haben wir

$$\phi^n = N(\phi^n) + \; const. \langle \phi^2 \rangle N(\phi^{n-2}) + \; const. \langle \phi^2 \rangle \langle \phi^2 \rangle N(\phi^{n-4}) \, + ... .$$ Die linke Seite ist lokal, und alle Terme nach dem ersten auf der rechten Seite sind nach der Induktionsannahme lokal, also$N(\phi^n)$muss lokal sein.

Darüber hinaus können Sie schließen, wenn Sie auf das Obige starren

$$N(\phi^n) = \phi^n + A_{n-2} \phi^{n-2} + A_{n-4} \phi^{n-4} + … + A_0$$ für einige Konstanten$A_{n-2},...,A_0.$Aus diesem Ausdruck geht also auch klar hervor, dass$N(\phi^n)$ist lokal.

Das Argument für ungerade Potenzen ist ähnlich.