Warum arbeitet man in der Feldtheorie mit der Lagrange-Dichte?

Denken Sie daran, dass das Wesentliche die Aktion ist $S = \int dt L(q, \dot{q}, t)$. Die Lagrange-Funktion sollte immer als Zutat für die Definition von Handlungen betrachtet werden.

Die Lagrange-Dichte ist die natürlichste Art, ein Feld zu beschreiben, dh etwas, das sich im Raum ändert. Eine Möglichkeit, dies aus dem ursprünglichen Lagrange-Formalismus zu motivieren, besteht darin, sich das Feld auf einem Gitter vorzustellen :$\phi( a n_i \mathbf{e}_i, t) \sim \phi_{n}(t)$, Wo$a$ist der Gitterabstand und$n\in\mathbb{Z}^3$, und Sie sollten die betrachten$\phi_n$als gewöhnliche dynamische Variablen. Wenn sich die Felder durch einen 3x3-Würfel von Seiten erstrecken$d$, dann gibt es$N = (d/a)^3$Variablen. Die Lagrange-Funktion ist jetzt eine glatte Funktion$\mathbb{R}^N \to \mathbb{R}$. Dies ist ein bisschen unhandlich, aber wir erwarten$L$aufgrund der Translationssymmetrie des Universums eine etwas besondere Form annehmen:

$L(\{\phi_n(t), \dot{\phi}_n(t)\}) = \sum_n \left[\mathcal{L}_0(\phi_n, \dot{\phi}_n) + \mathcal{L}_1(\phi_n, \phi_{n+a\mathbf{e}_i}, \dot{\phi}_{n}, \dot{\phi_{n+a\mathbf{e}_i}}) + \ldots \right]$Wo$\mathcal{L}_1$hängt von den nächsten Nachbarn ab,$\mathcal{L}_2$hängt von den zweitnächsten Nachbarn ab und so weiter. Entscheidend ist, keines der$\mathcal{L}$'s hängen davon ab, wo sie ausgewertet werden - es gibt keine$n$Index darauf - sie kümmern sich nur um den Wert des Feldes an diesem Punkt. Eine Grundannahme der Feldtheorie ist, dass Felder lokal sind – die Energie einer gegebenen Feldkonfiguration sollte nur davon abhängen, was dieses Feld an einem Punkt tut$\mathbf{x}$, dh die Energie an einem Punkt sollte nur vom Wert von abhängen$\phi$und seine Verformungen.

Beachten Sie nun, dass diese Abhängigkeiten von den nächsten Nachbarn als diskretisierte Ableitungen betrachtet werden können:

$$a \mathbf{e}_i \cdot \nabla \phi_n = \phi_{n+a\mathbf{e}_i} - \phi_n$$ Es kann mit ein wenig Arbeit gezeigt werden, die Sie berücksichtigen müssen$n$nächsten Nachbarn um das voll zu bekommen$n$Ableitung ter Ordnung. (Nebenbei: Dies bietet eine gewisse Intuition dafür, warum Taylor-Reihen funktionieren - wenn Sie alle [diskreten] Ableitungen einer analytischen Funktion an einem Punkt kennen, können Sie den Wert der Funktion an jedem Punkt bestimmen und umgekehrt).

Im Kontinuum$a \to 0$Grenze, dies sollte sich als manifestieren$\mathcal{L}(\phi, \nabla \phi, \dot{\phi}, \nabla \nabla \phi, \nabla \nabla \dot{\phi},...)$. Im Prinzip gibt es a priori keinen Grund , die Reihe abzuschneiden, was auf eine Abhängigkeit von allen Ableitungen von hinweist$\phi$. Ebenso wird die Summe zu einem Integral:$\sum_n \mapsto \int d^3 \mathbf{x}$, und wir enden mit

$$L(\phi \text{ at all points in space}) = \int d^3 \mathbf{x} \mathcal{L}(\phi(\mathbf(x)), \partial^\mu \phi(\mathbf{x}), \partial^\mu \partial^\nu \phi(\mathbf{x}), ...)$$

und letztendlich das relativitätsfreundlichere Objekt

$$S[\phi] = \int d^4\mathbf{x} \mathcal{L}(\phi(\mathbf(x)), \partial^\mu \phi(\mathbf{x}), \partial^\mu \partial^\nu \phi(\mathbf{x}), ...)$$

In der Praxis hängen Lagrange-Operatoren in der Teilchenphysik nicht von Ableitungen höherer Ordnung als ab$\dot{\phi}, \nabla \phi$, aus verschiedenen theoretischen Gründen. Einige klassische Lagrangianer in kondensierter Materie tun dies jedoch!

Kurz gesagt wird die Lagrange-Dichte verwendet, um die Vorstellung zu formalisieren, dass die Energie nur von den Feldern abhängt, dh dass die Gesetze der Physik überall gleich sind.

Ich denke, die Frage ist, warum in der Feldtheorie die Lagrange-Dichte gegenüber der in der klassischen Mechanik verwendeten Lagrange-Funktion bevorzugt wird.

Also, wenn das der Fall ist, ist der Grund einfach. Die Wirkung als Integral über der Lagrangefunktion muss Lorentz-invariant sein, mit der Lagrange-Dichte ist dies zu erreichen, während dies mit der Lagrange-Funktion der klassischen Mechanik nicht zu erreichen ist.

Das Ziel ist es, das Integral der Lagrange-Funktion (die die Aktion definiert) Lorentz-invariant zu machen:

$$S=\int dt\, d^3x\, \mathcal{L}.$$ Der 4-bändige$dt\,d^3 x$ist Lorentz-invariant (aber eine einfache$dt$nicht Lorentz-invariant ist) und falls$\mathcal{L}$als aus Feldern aufgebauter Skalar konstruiert ist (und leicht konstruiert werden kann), ist das gesamte Integral und damit die Aktion Lorentz-invariant.

Der 4-bändige$dt\,d^{3}x$kann lorentzkovariant unter Verwendung des total antisymmetrischen Levi-Civita-Tensors geschrieben werden$\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}$:

$$dt\,d^{3}x = \frac{1}{4!}\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\,dx^{\mu}\,dx^{\nu}\,dx^{\rho}\,dx^{\sigma}.$$ Dieser Formalismus basiert auf der Minkowski-Raumzeit. Die gekrümmte Raumzeit ist hier also nicht enthalten.