Bereitstellen der Ableitung einer einwertigen Funktion ist, als würde man seinen Wert an zwei infinitesimal nahen Punkten bereitstellen.
Meine Frage besteht aus zwei Teilen:
Kann man sich vorstellen, dass höhere Ableitungen den Wert der Funktion an vielen Punkten im Raum liefern, die alle unendlich nahe beieinander liegen?
Das Bereitstellen unendlicher Ableitungen ist also wie das Bereitstellen von Funktionswerten an allen Punkten im Raum? Ist das richtig?
Wenn ja,
Kann das jemand genau erklären?
Vielen Dank im Voraus.
Für analytische Funktionen gibt es einen bestimmten Bereich (Nachbarschaft) in der Raumzeit um einen gegebenen Punkt in der die Funktion durch eine konvergierende Taylor-Entwicklung gegeben ist, die alle diese Ableitungen an einem Punkt umfasst . Also ja der Lagrange würde das Feld an anderen Stellen aus einbeziehen und ist nichtlokal. Dies ist für viele Physiker problematisch, da Felder an einem bestimmten Punkt in der Raumzeit mit demselben Feld an anderen Punkten in der Raumzeit interagieren würden. Nichtsdestotrotz haben Menschen mit nichtlokalen Lagrangians zum Beispiel für effektive Feldtheorien gearbeitet, in denen diese nichtlokalen Begriffe eine tiefere Theorie darstellen könnten, die immer noch lokal ist.
Beachten Sie, dass selbst in 0+1D die im Pfadintegral integrierten Pfade alles andere als analytisch sind. Tatsächlich sind fast alle nicht einmal differenzierbar. Siehe diese Antwort . Es erfordert viel Sorgfalt, die Ableitungen für die meisten dieser Pfade zu verstehen. Eine Möglichkeit, dies zu erreichen, besteht darin, den Pfaden selbst einen gewissen Verteilungscharakter zu verleihen. Schlagen Sie die Fokker-Planck-Gleichung nach und sehen Sie sich dieses Papier an. Bisher müssen die stochastischen Ableitungen von Fall zu Fall definiert werden.
Ein Grund dafür, dass wir keine Ableitungsterme beliebig hoher Ordnung in die Lagrange-Funktion aufnehmen, ist, dass sie dazu neigen, nicht renormierbar zu sein. Dies bedeutet, dass im UV die Lokalität verletzt wird (auf eine Weise, die die Theorie überhaupt kein Aktionsprinzip zulässt), ähnlich wie Sie gefragt haben. Ich denke, dies hängt wahrscheinlich mit der Schwierigkeit zusammen, höhere Ableitungen von Verteilungen zu definieren, aber ich bin kein Experte.
Ich bin Student, kein Professor, aber ich denke, das ist ganz richtig: Wir können einen Körper immer um jeden seiner Punkte erweitern (unter den notwendigen Bedingungen), wenn wir über unendliche Ableitungen dieses Körpers verfügen, also die Lokalität unserer Theorie impliziert, dass ein Lagrange nur von einer endlichen Anzahl von Ableitungen des Feldes abhängen kann, da er von der Nachbarschaft eines einzelnen Punktes abhängen muss. Das heißt, dass eine Lagrange-Funktion (also die Bewegungsgleichungen !) nicht von einem beliebig weit entfernten Punkt abhängen kann
AccidentalFourierTransform
Tushar Gopalka
Victor Palea