Pfade im Pfadintegral

Beim Wegintegralansatz definiert man auf heuristische Weise das funktionale Wegintegral

Z = ∫ D ϕ e ich S ( ϕ )
und die eine behauptet, man müsse über alle Wege integrieren.

Ich verstehe, dass der Bereich des Integrals der Konfigurationsraum der Theorie ist.

Meine Frage ist:

Wie hängt das Integral von unserer anfänglichen Wahl des Konfigurationsraums ab?

BEARBEITEN:

Beispielsweise in einer global hyperbolischen Raumzeit mit kompakter anfänglicher Cauchy-Fläche Σ man kann gut gestellte Probleme für das Skalarfeld haben, ϕ mit Ausgangsdaten in den Sobolev-Räumen H 1 ( Σ ) × H 0 ( Σ ) . Allerdings kann man auch beweisen, dass das Problem für Anfangsdaten gut gestellt ist H k ( Σ ) × H k − 1 ( Σ ) .

Diese beiden Ergebnisse für Wohlbesessenheit ergeben zwei unterschiedliche Konfigurationsräume H 1 im ersten Fall u H k in dieser Sekunde.

Wie ändert sich in diesem Fall das Wegintegral?

Bei Eichtheorien müssen Sie vorsichtig sein und die Eichtransformationen anpassen. Das heißt, über physikalisch unterschiedliche Zustände integrieren. Siehe z. B. Sergey V. Shabanovs "Phase space structure and the path integral for gauge theories on a cylinder" arXiv:hep-th/9308002 für eine Untersuchung von 2D-Beispielen.
Um den Kommentar von A. Nelson zu ergänzen, kann man das Überzählen von Zuständen aufgrund der Eichsymmetrie systematisch beheben, indem man die Faddeev-Popov-Methode anwendet, wie sie in Peskin und Schroeder beschrieben wird. In einigen Fällen können dadurch zusätzliche Felder eingeführt werden, die als „Geisterfelder“ bekannt sind.
@Alex Nelson: Danke. Wenn ich es richtig verstehe, muss bei einem wechselwirkenden Skalarfeld das Messgerät nicht fixiert werden, und der klassische Konfigurationsraum ist genau der Funktionsraum, den Sie zum Integrieren verwenden. und wenn Sie Messgerätfreiheit haben, müssen Sie den Raum durch die Wirkung des Messgeräts quotieren. Ist das richtig?
@ja, das ist richtig.

Antworten (1)

Sie integrieren über alle Pfade im Konfigurationsraum, aber Vorsicht: differenzierbare Pfade tragen zu einem Maß von 0 im Integral bei. Der eigentliche Beitrag kommt von fraktalen Pfaden der Dimension 2 (vgl. „The Dimension of a Quantum-Mechanical Path“ von Abbott und Wise).

Diese „Spreizung“ des Weges ist bei Wegintegralen das Äquivalent der Heisenbergschen Unschärferelation, etwas von der Form

⟨ M X k + 1 − X k ε X k ⟩ − ⟨ X k M X k − X k − 1 ε ⟩ = ℏ ich ⟨ 1 ⟩

(vgl. Feynman und Hibbs)

die spitzen Klammern zeigen eine Pfadintegration einiger Funktionen mit einer Aktion an. Das bedeutet, dass es keine wirkliche Geschwindigkeit gibt, sondern nur eine durchschnittliche, da die Pfade alle an jedem Punkt nicht differenzierbar sind. Die Geschwindigkeit hat eine Standardabweichung, die mit der Standardabweichung der Position Ihrer Messung verbunden ist (dies wird auch in der informellen Beziehung ausgedrückt, die Sie manchmal im Pfadintegralbuch sehen: D X 2 ∝ D T )

Im Phasenraum werden die Dinge etwas komplizierter, und nur diskontinuierliche Pfade im Phasenraum tragen dazu bei ("Feynman Path Integrals in a Phase Space" von Berezin).

Die gleiche Logik gilt für Felder, und Sie müssen tatsächlich darauf achten, nicht zweimal über dieselbe Feldkonfiguration zu integrieren, wenn es sich um ein Messgerät handelt.

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