Warum ist das Pfadintegral nicht streng?

Es gibt mehrere Punkte:

• Die erste ist die für übliche selbstadjungierte Hamiltonoperatoren der Form$H=-\Delta +V(x)$, mit einem gemeinsamen dicht definierten Bereich (und ich bin hier mathematisch sehr pedantisch, Sie können diese Bemerkung einfach ignorieren) ist der Grenzwertprozess gut definiert und gibt dem formalen Ausdruck eine Bedeutung

  $\int_{q_a}^{q_b} \mathcal{D}p\mathcal{D}q\exp\{\frac{i}{\hbar}\int_{t_a}^{t_b} \mathcal{L}(p, q)\}$

  mittels Traberproduktformel und dem entsprechenden Grenzwert diskreter Summen. Das Objekt hat also meistens eine Bedeutung, solange wir es als Grenze sehen. Dennoch wäre es geeignet, eine direktere mathematische Interpretation als echtes Integral über Pfade zu geben. Dies würde Verallgemeinerungen und Flexibilität bei der Verwendung ermöglichen.

• Es stellt sich heraus, dass ein geeigneter Maßbegriff für den Raum der Pfade gegeben werden kann, indem stochastische Prozesse wie die Brownsche Bewegung verwendet werden (es gibt einen ganzen Zweig der Wahrscheinlichkeitstheorie, der sich mit einer solchen stochastischen Integration befasst, das sogenannte Itô-Integral). Um diesen Begriff mit unserer vorliegenden Situation in Beziehung zu setzen, muss jedoch eine notwendige Modifikation vorgenommen werden: der Faktor$-it$in der Quantenevolution muss durch ersetzt werden$-\tau$(dh man muss zur "imaginären Zeit" übergehen) . Dies ermöglicht es, die korrekten Gaußschen Faktoren, die nun aus dem freien Teil des Hamilton-Operators stammen, herauszufiltern und das korrekte Wiener-Maß auf dem Wegraum zu erkennen. Aus mathematischer Sicht ist die Rotation zurück in die Echtzeit nur in wenigen Spezialsituationen möglich, dennoch bietet dieses Verfahren eine zufriedenstellende Möglichkeit, euklidische Zeitwegintegrale der Quantenmechanik und Feldtheorie (zumindest die freien, und auch in einigen) mathematisch zu definieren interagierender Fall). Es gibt neuere Arbeiten von sehr renommierten Mathematikern zu diesem Zusammenhang, insbesondere die Arbeit des Feldmedaillengewinners Martin Hairer (siehe z. B. diese Arbeit und diese , oder die neuere Arbeit von A. Jaffedas gibt einen interessanten Überblick; ein physikalischerer Ansatz wird unter anderem von Lorinczi, Gubinelli und Hiroshima gegeben).

• Die genaue mathematische Formulierung des Pfadintegrals in QM wird als Feynman-Kac-Formel bezeichnet, und die genaue Aussage lautet wie folgt:

  Lassen$V$sei eine reellwertige Funktion in$L^2(\mathbb{R}^3)+L^\infty(\mathbb{R}^3)$,$H=H_0+V$wo$H_0=-\Delta$(der Laplace-Operator). Dann für alle$f\in L^2(\mathbb{R}^3)$, für alle$t\geq 0$:

  $$(e^{-tH}f)(x)=\int_\Omega f(\omega(t))e^{-\int_0^t V(\omega(s))ds}d\mu_x(\omega)\; ;$$ wo $\Omega$ist die Menge der Pfade (mit geeigneten Endpunkten möchte ich keine strenge Definition geben) und $\mu_x$ist das entsprechende Wiener-Maß bzgl $x\in\mathbb{R}^3$.

...Er leitet das Pfadintegral ab und zeigt es wie folgt:

$$\int_{q_a}^{q_b}\mathcal{D}p\mathcal{D}q\exp\{\frac{i}{\hbar}\int_{t_a}^{t_b} \mathcal{L}(p, q)\}$$

Das ist mir klar. Er vergleicht es dann mit einer diskreten Summe

$$\sum_\limits{\text{paths}}\exp\left(\frac{iS}{\hbar}\right)$$ wo$S$ist das Aktionsfunktional eines bestimmten Pfades.

Hier komme ich jetzt durcheinander.

An dieser Stelle denke ich, dass es hilfreich sein wird, eine Analogie zu einem gewöhnlichen Riemann-Integral zu machen (das die Fläche unter einer Kurve angibt).

Die Fläche A unter einer Kurve f(x) von x="a" bis x="b" ist ungefähr proportional zur Summe

$$A\sim\sum_i f(x_i)\;,$$ bei dem die$x_i$so gewählt, dass sie von a nach b beabstandet sind, sagen wir in Intervallen von "h". Je größer die Zahl der$x_i$wir wählen die bessere Annäherung, die wir erhalten. Allerdings müssen wir ein „Maß“ einführen, um die Summe sinnvoll konvergieren zu lassen. Im Fall des Riemann-Integrals ist dieses Maß nur "h" selbst. $$A=\lim_{h\to 0}h\sum_i f(x_i)\;,$$

In Analogie dazu haben wir in der Pfadintegraltheorie der Quantenmechanik den Kern „K“, um von „a“ nach „b“ zu gehen, der proportional zur Summe der Pfade ist

$$K\sim\sum_\limits{\text{paths}}\exp\left(\frac{iS_{\tt path}}{\hbar}\right)$$

Auch in diesem Fall macht es keinen Sinn, nur die Summe zu betrachten, da diese bei immer mehr hinzukommenden Pfaden keine sinnvolle Grenze mehr hat. Wir müssen eine Maßnahme einführen, um den Summenansatz zu einer vernünftigen Grenze zu machen. Für das Riemann-Integral haben wir das einfach durch Multiplikation mit "h" gemacht. Aber es gibt im Allgemeinen keinen so einfachen Prozess für das Pfadintegral, das eine ziemlich höhere Ordnung von unendlich vielen Pfaden beinhaltet, mit denen man fertig werden muss ...

Um Feynman und Hibbs zu zitieren: "Leider scheint es ein sehr schwieriges Problem zu sein, einen solchen Normalisierungsfaktor zu definieren, und wir wissen nicht, wie wir es im Allgemeinen tun sollen." --Pfadintegrale und Quantenmechanik, p. 33

Im Fall eines freien Teilchens in einer Dimension zeigen Feynman und Hibbs, dass der Normierungsfaktor ist

$${({\frac{m}{2\pi i\hbar\epsilon}})}^{N/2};\,$$ wobei es N Schritte der Größe gibt$\epsilon$aus$t_a$zu$t_b$, und N-1 Integrationen über die Zwischenpunkte dazwischen$x_a$und$x_b$.

Nochmals, um Feynman und Hibbs bezüglich dieser Normalisierungsmaßnahmen zu zitieren: "... wir wissen, wie wir die Definition für alle Situationen geben können, die bisher einen praktischen Wert zu haben scheinen."

Damit solltest du dich wohler fühlen...