Mathematische Formulierung für Fermionpfadintegrale?

Question

Mathematische Formulierung für Fermionpfadintegrale?

haoshu li

Vergleichen Sie mit dem Pfadintegral für Bosonen, wie können wir das Fermion-Pfadintegral mathematisch formulieren? Für das Bosonenpfadintegral bedeutet die Integration das Lebesgue-Integral bezüglich eines Maßes auf $(\mathbb{R}^T, \mathcal{B}(\mathbb{R}^T))$ wenn wir die euklidische Wirkung betrachten.( $T$ hier ist ein willkürlicher Indexsatz)

Ich habe aus dem Artikel ( Berezin-Integration ) gelernt, wie man das endlichdimensionale Berezin-Integral definiert. Aber das Fermionenpfad-Integral bezieht sich auf das "unendlich-dimensionale" Berezin-Integral, ich weiß wirklich nicht, wie ich es definieren soll. Im Vergleich zum Bosonenfall wenden wir unser Wissen über Integration an $\mathbb{R}^n$ eine Theorie der Integration aufzubauen $\mathbb{R}^T$ in einer Weise, dass der Borel-Satz von $\mathbb{R}^T$ wird durch den Satz von Borel konstruiert $\mathbb{R}^n$ . Aber jetzt haben wir im Fermion-Fall keine Borel-Menge (eine Integration wird als Funktion angesehen). Wie können wir das "unendlich dimensionale" Berezin-Integral definieren?

QMechaniker

FWIW, Integration über die Grassmann-ungerade Linie

R^{0 | 1}

$\mathbb{R}^{0|1}$ wird in diesem Phys.SE-Beitrag besprochen . Der Hauptpunkt ist, dass es keinen Sinn macht, über Teilmengen zu integrieren. Weniger für höhere Dimensionen.

haoshu li

Ich verstehe die gewöhnliche Berezin-Integration, die ich nicht verstehe, ist die unendlich dimensionale Version der Berezin-Integration.

QMechaniker

Integration vorbei

R^{0 | \infty}

$\mathbb{R}^{0|\infty}$ kann als definiert werden

n \to \infty

$n\to \infty$ Integrationsgrenze überschritten

R^{0 | n}

$\mathbb{R}^{0|n}$ .

haoshu li

Bedeutet dies, wenn dies

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$ Grenze existiert, dann definieren wir die Integration gleich der Grenze?

Antworten (1)

Mathematische Formulierung für Fermionpfadintegrale?

FWIW, Integration über die Grassmann-ungerade Linie $\mathbb{R}^{0|1}$ wird in diesem Phys.SE-Beitrag besprochen . Der Hauptpunkt ist, dass es keinen Sinn macht, über Teilmengen zu integrieren. Weniger für höhere Dimensionen.
Ich verstehe die gewöhnliche Berezin-Integration, die ich nicht verstehe, ist die unendlich dimensionale Version der Berezin-Integration.
Integration vorbei $\mathbb{R}^{0|\infty}$ kann als definiert werden $n\to \infty$ Integrationsgrenze überschritten $\mathbb{R}^{0|n}$ .
Bedeutet dies, wenn dies $n \rightarrow \infty$ Grenze existiert, dann definieren wir die Integration gleich der Grenze?

Abdelmalek Abdesselam · Answer 1

Eine Einführung in die Berezin-Integration in unendlicher Dimension findet sich im Anhang A (S. 75) der Aisenstadt-Vorlesungen „Renormalization Group and Fermionic Functional Integrals“ von Joel Feldman. Das Verfahren fährt im Wesentlichen fort, indem es eine Grenze des endlichdimensionalen Falls nimmt, aber dies beinhaltet eine gewisse Topologie, nämlich geeignete Normen und Hypothesen zu den Kovarianzen der zu konstruierenden fermionischen Gaußschen Maße.

Beachten Sie auch, dass das, was Sie über den Boson-Fall gesagt haben, nicht der beste mathematische Weg ist, die Dinge aufzustellen. Wenn Sie eine euklidische QFT in Betracht ziehen $d$ (Raumzeit-)Dimensionen, Sie machen kein Integral über den messbaren Raum $(\mathbb{R}^T,\mathcal{B}(\mathbb{R}^T))$ mit $T=\mathbb{R}^d$ . Ich nehme an, du meinst $\mathbb{R}^T$ mit der Produkttopologie ausgestattet ist und Sie das entsprechende Borel verwenden $\sigma$ -Algebra. Außerdem Lebesgue-Maß $D\phi$ würde auf einem solchen Raum nicht existieren. Im Bosonenfall wäre das der richtige messbare Raum $(S'(\mathbb{\mathbb{R}^d}),\mathcal{B}(S'(\mathbb{\mathbb{R}^d})))$ . Nämlich das Skalarfeld $\phi(x)$ Die Integration über ist keine Funktion, sondern eine Schwartz-Verteilung.

Aber im Bosn-Fall meine ich nicht den Indexsatz $T=\mathbb{R}^d$ . In deinem Beispiel, also einer euklidischen QFT in d-Dimension, ist der Index gesetzt $T$ kann angenommen werden $S(\mathbb{R}^d)$ und dem temperierten Verteilerraum $S'(\mathbb{R}^d)$ wäre eine Teilmenge von $\mathbb{R}^T$ .
@haoshuli: In der Tat, $S'$ ist ein Raum von (stetigen linearen) Funktionen auf $S$ und daher kann es als eine Teilmenge von angesehen werden $\mathbb{R}^T$ mit $T=S(\mathbb{R}^d)$ . Aber seit $T$ unzählbar ist, ist dies ein wirklich schlechter Ort, um Maßtheorie zu betreiben. Das führt zu künstlichen Komplikationen wie ununterscheidbaren Prozessen, Versionen und Modifikationen von Prozessen etc. Man sieht $S'(\mathbb{R}^d)$ als messbare Teilmenge von $\mathbb{R}^T$ mit $T=\mathbb{N}$ . Denn die Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators (Hermite-Funktionen) liefern eine unbedingte Schauder-Basis.

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haoshu li

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Abdelmalek Abdesselam

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