Poincare-invariante Lagrangianer

I) OP schrieb (v2):

ich weiß, dass$\mathcal{L}$ist eine Funktion, keine Funktion.

Eigentlich für lokale Theorien die Lagrange-Dichte

$$\mathcal{L}(\phi(x), \partial\phi(x), \partial^2\phi(x), \ldots, ;x)$$ ist eine Funktion von $\phi(x)$, $\partial\phi(x)$, $\partial^2\phi(x)$, $\ldots$, Und $x$. Im Gegensatz dazu die Aktion $S[\phi]=\int \!d^dx~\mathcal{L}$ist eine Funktion von $\phi$, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

II) OP schrieb (v2):

Die Lagrange-Dichte einer Poincare-Invariantentheorie sollte nicht explizit von den Raum-Zeit-Koordinaten abhängen. Heißt das

$$\tag{1} \partial_{\mu} \mathcal{L}~=~0~?$$

Wenn$\partial_\mu$in der OP-Notation bezeichnet eine explizite Raum-Zeit-Differenzierung$\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$, dann lautet die Antwort Ja. Beachten Sie jedoch, dass über die Felder auch eine implizite Abhängigkeit von den Raum-Zeit-Koordinaten besteht$\phi$. Die gesamte Raum-Zeit-Ableitung wird

$$d_{\mu}\mathcal{L}~=~\partial_{\mu} \mathcal{L} + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\partial_{\mu}\phi + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\nu}\phi)} \partial_{\nu}\partial_{\mu}\phi + \ldots .$$

III) Translationsinvarianz (1) impliziert über den Satz von Noether , dass der entsprechende Energie-Impuls-4-Vektor$P_{\mu}$wird konserviert.

Das könntest du sagen$\partial_{\mu}\mathcal{L}=0$nur wenn die Felder, auf die es sich bezieht, als unabhängige Variablen und nicht als Funktionen von behandelt werden$x^\mu$. Dh der Lagrange bezieht sich nicht explizit auf Koordinaten, aber wenn man die Felder als betrachten würde$\phi = \phi(x^\mu)$, dann offensichtlich$\partial_{\mu}\mathcal{L}\neq 0$.

Der strengere Weg, dies zu sagen, besteht darin, eine Transformation zu betrachten, die die gesamte relevante Physik in die Raumzeit übersetzt$a^\mu$. Der Lagrange wird umgewandelt in$\mathcal{L}(x^\mu) \to \mathcal{L}_a(x^\mu)$- vorerst nehmen wir keine Form dieser Transformation an. Die Nullableitungsanforderung könnte wie folgt angegeben werden

$$\mathcal{D}_a \mathcal{L} \equiv \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\mathcal{L}_{a \epsilon}(x^\mu + \epsilon a ^\mu)-\mathcal{L}(x^\mu)}{\epsilon} = 0$$ Das heißt, wenn Sie eine infinitesimale Übersetzung der gesamten Physik durchführen und das Ergebnis mit dem ursprünglichen, nicht übersetzten Ergebnis vergleichen (Sie müssen am rückübersetzten Punkt vergleichen), erhalten Sie dasselbe Ergebnis. Aber indem wir dies fordern und einige vernünftige Mathematik annehmen, erhalten wir, dass es der Bedingung entspricht $$\mathcal{L}_a (x^\mu) = \mathcal{L}(x^\mu-a^\mu)$$ Das heißt, das Übersetzen von Physik und das Rückübersetzen von Koordinaten ergibt das gleiche Ergebnis, auch wenn es nicht unendlich klein ist. Der wichtige Teil ist offensichtlich die "all relevante Physik", die damit übersetzt wird $a$-Übersetzung. Dies ist fast eine tautologische Aussage - die Lagrange-Funktion hängt nur von "aller relevanten Physik" ab und ihr Wert wird mit ihnen transportiert.

Letztere Bedingung ist ein Sonderfall der von Frederic Brünner und m1rohit erwähnten.

Poincare-Invarianz bedeutet einfach, dass sich die Lagrange-Funktion bei einer Poincare-Transformation nicht ändert:

$$\mathcal{L}(x)\rightarrow\mathcal{L'}(x)=\mathcal{L}(\Lambda^{-1}x).$$

Beachten Sie, dass ich der Einfachheit halber nur Lorentz-Transformationen aufgeschrieben habe. Das sagen wir jetzt$\mathcal{L}$ist invariant, wenn

$$\mathcal{L}(x)=\mathcal{L}'(x).$$

Dies bedeutet nicht, dass der Lagrange nicht von Raumzeitkoordinaten abhängt. Schließlich sollen die darin enthaltenen Felder Funktionen der Raumzeit sein. Sie sagt nur etwas über das Transformationsverhalten der Funktion aus. Ein invarianter Lagrangian kann aus Ausdrücken konstruiert werden, die sich wie Skalare transformieren, dh$\phi(x)\rightarrow\phi(\Lambda^{-1}x).$