Die klassische Klein-Gordon-Theorie für ein reelles Skalarfeld wird als relativistische freie Theorie bezeichnet.
Sie wird freie Theorie genannt , weil die Dynamik der Freiheitsgrade im Impulsraum der Klein-Gordon-Theorie voneinander entkoppelt ist. Mit anderen Worten, die Klein-Gordon-Theorie ist frei von Wechselwirkungen zwischen den Anregungen des Klein-Gordon-Feldes im Impulsraum.
Ist die Klein-Gordon-Theorie auch frei von Wechselwirkungen zwischen den Anregungen des Klein-Gordon-Feldes im Ortsraum?
Warum wird die Klein-Gordon-Theorie als relativistische Theorie bezeichnet? Liegt es daran, dass die Klein-Gordon-Lagrange-Funktion und die Klein-Gordon-Bewegungsgleichung Lorentz-invariant sind?
Und warum es eine "freie" Theorie genannt wird, ist es nicht spezifisch für eine Momentum-Space-Formulierung. Es ist "frei", weil der Lagrange-Operator in den Feldern quadratisch ist und daher die Bewegungsgleichungen (was Sie erhalten, wenn Sie den Lagrange-Operator in die Euler-Lagrange-Gleichung einfügen) in den Feldern linear sind. Daher können Sie dem EOM verschiedene klassische Lösungen überlagern und eine andere Lösung erhalten. Wenn Sie zwei Lösungen haben, die aus einem Wellenpaket bestehen, das sich in eine Richtung ausbreitet, und einem anderen, das sich in eine andere Richtung ausbreitet, dann addieren Sie die beiden Lösungen einfach zusammen, um sie zu "kombinieren", und Sie erhalten keinerlei Streuung - die Teilchen passieren einfach direkt durcheinander.
Ob das Feld Wechselwirkungen im Positionsraum hat, hängt davon ab, was Sie genau meinen. Die abgeleiteten Terme beziehen den Wert des Feldes an einem Punkt auf seine Werte an nahe gelegenen Punkten und könnten daher als "Position-Raum-Wechselwirkung" betrachtet werden. Wenn man sich ein freies Skalarfeld als ein Netzwerk gekoppelter einfacher harmonischer Oszillatoren (Federn) vorstellt, dann sind die Federn tatsächlich miteinander gekoppelt - deshalb ist es energetisch sehr ungünstig, wenn zwei benachbarte Punkte völlig unterschiedliche Werte haben (denn dann müssten ja eine große Ableitung sein, die sie verbindet). Auch in der statistischen Mechanik tritt die Klein-Gordon-Gleichung häufig als energiearme Näherungsbeschreibung eines wechselwirkenden Systems auf, wie z. B. das Ising-Modell. Die zugrunde liegenden Freiheitsgrade (die "Federn"Anregungen (die "Wellen" oder Schwingungen im Feld) interagieren nicht. Wenn Leute sagen, dass die Klein-Gordon-Gleichung "nicht wechselwirkend" ist, beziehen sie sich auf die Erregungen, nicht auf die zugrunde liegenden Freiheitsgrade (wie die Feldwerte selbst). Und ob Sie interagieren oder nicht, ist unabhängig davon, ob Sie im Ortsraum oder im Impulsraum arbeiten, da die Fourier-Transformation von Null Null ist und die FT von etwas Nicht-Null Nicht-Null ist. In Bezug auf die Erregungen ist alles Quadratische in den Feldern (oder ihren Ableitungen) nicht wechselwirkend und alles, was höher als quadratisch ist, wechselwirkend, da diese Terme nichtlinear zum EOM beitragen.
Um schließlich Prahars Antwort zu verdeutlichen: Damit ein System relativistisch ist, muss es unter der gesamten Lorentz-Gruppe invariant sein, nicht nur unter Boosts. Aber lokale Rotationsinvarianz ist in praktischen Anwendungen oft der Fall – Boost-Invarianz nicht immer.
Ja. Du hast Recht. Eine nicht-relativistische Theorie wäre unter der Galilei-Gruppe unveränderlich. Die Lorentz-Invarianz (insbesondere die Invarianz unter Lorentz-Boosts) definiert eine relativistische Theorie.
Alptraum