Quelle: Quantum Field Theory for the Gifted Amateur von Tom Lancaster, Stephen J. Blundell.

Ich habe Mühe, den logischen Schritt von der Gliederung des „Beweises“ in der Fußnote zu der Tatsache zu verstehen, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte wie Gl. 6.12. Kann jemand einen ergänzenden Text liefern, der dies deutlicher durchgeht? Außerdem finde ich die Herleitung meiner Sekundärquelle auch auf einer Ebene über mir.

6.2 Wahrscheinlichkeit Ströme und Dichten

Einer der Gründe, warum Schrödinger mit der Klein-Gordon-Gleichung nicht zufrieden war, nachdem er sie hergeleitet hatte, war, dass etwas ziemlich Unangenehmes passiert, wenn man an den Fluss der Wahrscheinlichkeitsdichte denkt. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Teilchen irgendwo befindet, hängt von ab$\phi^{*}(x)\phi(x)$Wenn diese Größe also zeitabhängig ist, müssen Partikel herumschwappen. Die Wahrscheinlichkeitsdichte$\rho$und Wahrscheinlichkeitsstromdichte ⁵ $\boldsymbol{j}$einer Kontinuitätsgleichung gehorchen

$$\begin{equation} \dfrac{\mathrm d\rho}{\mathrm dt}+\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{j}=0, \tag{6.9}\label{6.9} \end{equation}$$ was einfacher in Vier-Vektor-Notation geschrieben werden kann als $$\begin{equation} \partial_{\mu}j^{\mu}=0. \tag{6.10}\label{6.10} \end{equation}$$ Wenn wir, wie in der nichtrelativistischen Quantenmechanik üblich, ⁶ nehmen, nehmen wir den räumlichen Anteil an $$\begin{equation} \boldsymbol{j}(x)=-\mathrm i\left[\phi^{*}(x)\boldsymbol{\nabla}\phi(x)-\phi(x)\boldsymbol{\nabla}\phi^{*}(x)\right], \tag{6.11}\label{6.11} \end{equation}$$ Damit Gl. 6.10 funktioniert, benötigen wir für ⁷ eine Wahrscheinlichkeitsdichte von ⁸ $$\begin{equation} \rho(x)\boldsymbol{=}\mathrm i\left[\phi^{*}(x)\dfrac{\partial\phi(x)}{\partial t}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial\phi^{*}(x)}{\partial t}\phi(x)\right]. \tag{6.12}\label{6.12} \end{equation}$$ Der resultierende kovariante Wahrscheinlichkeitsstrom für die Klein-Gordon-Gleichung ist dann gegeben durch $$\begin{equation} j^{\mu}(x)=\mathrm i\{\phi^{*}(x)\partial^{\mu}\phi(x)-\left[\partial^{\mu}\phi^{*}(x)\right]\phi(x)\}, \tag{6.13}\label{6.13} \end{equation}$$ was, wie die Notation andeutet, ein Vierervektor ist. Ersatz in unserem [...]

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^{$^7$Es wird funktionieren, und Sie können es wie folgt beweisen. Nimm die Klein-Gordon-Gleichung (Gl. 6.5) und multipliziere sie vorab mit$\phi^{*}(x)$. Nimm dann das komplexe Konjugierte von Gleichung 6.5 und multipliziere vorab mit$\phi(x)$. Das Subtrahieren dieser beiden Ergebnisse ergibt eine Gleichung der Form von Gl. 6.9 mit$\boldsymbol{j}$Und$\rho$wie gegeben.}

Sekundärquelle: Quantenfeldtheorie von Lewis H. Ryder.

...wo die Schr$\ddot{\rm o}$Dinger-Gleichung und ihr komplexes Konjugat verwendet wurden. Was sind die entsprechenden Ausdrücke für die Klein-Gordon-Gleichung? Um richtig relativistisch zu sein,$\rho$nicht, wie in (2.18), als Skalar transformieren, sondern als Zeitkomponente eines 4-Vektors, dessen Ortskomponente ist$\mathbf{j}$, gegeben durch (2.19). Dann$\rho$wird von gegeben

$$\begin{equation} \rho(x)=\dfrac{\mathrm i \hbar}{2m}\left(\phi^{*}\dfrac{\partial\phi}{\partial t}-\phi\dfrac{\partial\phi^{*}}{\partial t}\right) \tag{2.20}\label{2.20} \end{equation}$$ und mit $$\begin{equation} j^{\mu}=\left(\rho,\mathbf{j}\right)=\dfrac{\mathrm i \hbar}{m}\phi^{*}\left(\overset{\leftrightarrow}{\partial_{0}},\overset{\leftrightarrow}{\boldsymbol{\nabla}}\right)\phi =\dfrac{\mathrm i \hbar}{m}\phi^{*}\overset{\leftrightarrow}{\partial^{\mu}}\,\phi \tag{2.21}\label{2.21} \end{equation}$$ Wo $$\begin{equation} A\overset{\leftrightarrow}{\partial^{\mu}}B\stackrel{\text{def}}{=}\tfrac12\left[A\partial^{\mu}B\boldsymbol{-}(\partial^{\mu}A)B\right], \tag{2.22}\label{2.221} \end{equation}$$ und wir haben (2.9) verwendet, haben wir die Kontinuitätsgleichung $$\begin{equation} \partial_{\mu}j^{\mu}=\dfrac{\mathrm i \hbar}{2m}\left(\phi^{*}\square \,\phi-\phi\,\square\,\phi^{*}\right)=0, \tag{2.23}\label{2.3} \end{equation}$$ seit$\phi^{*}$gehorcht auch der Klein-Gordon-Gleichung. Dann$\rho$Und$\mathbf{j}$sind die gewünschte Wahrscheinlichkeitsdichte und der Strom. Dies stellt jedoch sofort ein Problem dar, denn$\rho$, gegeben durch Gleichung (2.20), im Gegensatz zu Ausdruck (2.18) für die ...