Warum ist V=(1/2)m2ϕ2V=(1/2)m2ϕ2V=(1/2) m^2 \phi^2 für ein freies relativistisches Skalarfeld der Masse mmm?

Warum$m^2$vor$\phi^2$und warum ist$m$die Masse?

Zunächst einmal, von der Dimensionsanalyse über den Vorfaktor bis hin zum$\phi^2$Begriff im Lagrange muss Masse-Dimension haben$^1$ $2$In$3+1$Dimensionen, da der Lagrange-Operator Massendimension hat$4$Und$\phi$Masse-Dimension hat$1$. Dies sagt uns nur, dass wir den Begriff schreiben können als$m^2\phi^2$Wo$m$ist eine Massenskala, gibt aber nicht die Beziehung zur Teilchenmasse an.

Um diese Verbindung herzustellen, erinnern Sie sich an die quantenmechanischen Operatorbeziehungen $E = i\frac{\partial}{\partial t}$Und$\vec{p} = -i\nabla$, und die relativistische Energie-Impuls-Beziehung für freie Teilchen

$$E^2 = \vec{p}^2 + m^2$$

Wenn das freie Skalarfeld mit der Relativitätstheorie übereinstimmen soll, muss diese Operatorrelation beim Einwirken erfüllt sein$\phi$. Das gibt uns

$$-\frac{\partial^2}{\partial t^2}\phi = -\nabla^2\phi + m^2\phi = 0 \implies \square \phi + m^2\phi = 0$$

das ist genau die Bewegungsgleichung für ein kanonisches Skalarfeld mit Potential$V = \frac{1}{2}m^2\phi^2$.

Ein weiterer Grund warum$m$ist die Masse kann durch Betrachten der relativistischen Dirac-Gleichung gefunden werden

$$(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi = 0$$

Indem Sie die obige Gleichung mit multiplizieren$(i\gamma^\mu\partial_\mu + m)$es verwandelt sich in

$$\square \psi + m^2\psi = 0$$

also der Dirac-Spinor$\psi$erfüllen die gleiche Gleichung wie für ein freies Skalarfeld mit Potential$V = \frac{1}{2}m^2\psi^2$.

Warum$\phi^2$und nicht etwas komplizierter?

Wir können kompliziertere Potentiale haben, aber es würde nicht zu einem freien Skalarfeld führen. Für ein freies skalares Feld sollte die Bewegungsgleichung linear sein, da sonst das volle Feld nicht mehr die Überlagerung einzelner Erregungen ist und das Feld folglich selbstwechselwirken wird. Dies schränkt das Potenzial ein, auf dem Formular zu sein$V = V_0 + \mu^3\phi + \frac{1}{2}m^2\phi^2$. Der$V_0$Term ändert die Bewegungsgleichung nicht und ist nur kosmologisch wichtig und dort von einer kosmologischen Konstante nicht zu unterscheiden. Der$\mu^3$Begriff kann entfernt werden, indem eine Feldneudefinition durchgeführt wird$\phi \to \phi - \frac{\mu^3}{m^2}$. Somit können wir ohne Verlust der Allgemeinheit nehmen$\mu = 0$es sei denn$m^2 = 0$. Jedoch, wenn$m^2=0$dann ist das Feld masselos. Das allgemeinste Skalarfeldpotential eines freien und massiven Skalarteilchens ist daher$\frac{1}{2}m^2\phi^2$.

---

$^1$: Ich verwende Planck-Einheiten$\hbar=c=1$in dieser Antwort, um es mir leicht zu machen