Wie genau wird die Klein-Gordon-Gleichung hergeleitet?

In der Quantenmechanik ist die Schrödinger-Gleichung nur die Aussage, dass Energie der Generator der Zeitentwicklung ist . Im QM-Framework wird dies geschrieben als

Nun, wenn wir die Positionsdarstellung haben$\mathbf{r}$wir können die Wellenfunktion bilden$\Psi(\mathbf{r},t)=\langle \mathbf{r}|\psi(t)\rangle$und das wird

Die übliche Schrödinger-Gleichung wird gefunden, wenn wir ersetzen$H$durch den quantisierten klassischen Hamiltonian:

Die Frage ist, dass die Gleichung, die Sie erhalten, für$\Psi(\mathbf{r},t)$ist nicht Lorentz-invariant. Und tatsächlich haben wir bei der Quantisierung die nicht-relativistische Energie verwendet.

Nun, der kanonische Weg, dies zu tun, besteht darin, zu versuchen, die relativistische Version zu quantisieren

in Einheiten wo$c=1$. Um dies zu quantifizieren, bestehen wir darauf , dass Energie der Generator von Zeitübersetzungen ist. Das deutet darauf hin$E\mapsto i\hbar \partial_t$während wir darauf bestehen$p$ist damit der Generator räumlicher Übersetzungen$p\mapsto -i\hbar \nabla$. Dies führt zu

oder auch Einheiten auswählen wo$\hbar =1$

Hier,$\Psi$ist also eine Wellenfunktion$\Psi:\mathbb{R}^3\times \mathbb{R}\to \mathbb{C}$und daher, trotz dieser seltsamen Terminologie,$\Psi$ist ein klassisches Feld .

So für$(1)$, wir haben gerade die Energie-Impuls-Beziehung quantisiert, indem wir verlangten, dass die gleiche Beziehung in der Quantenversion gilt, und auferlegten, dass Energie der Erzeuger von Zeitverschiebungen und Impuls der Erzeuger von räumlichen Verschiebungen ist.

Jetzt für$(2)$, ist die Klein-Gordon eine Wellenfunktionsgleichung. Sie schreiben nur die Schrödinger-Gleichung mit einem bestimmten Hamilton-Operator um. Ebenso ist es ein klassisches Feld. Es ist ein klassisches Feld, weil es nicht vom Operator bewertet wird . Ein Quantenfeld ist ein Operatorwertfeld. Nun davon zu sprechen, es zu einem Quantenfeld zu machen, das heißt, sich mit der Quantisierung dieses Feldes zu befassen, ist eine andere Geschichte.

Ausgangspunkt ist die Darstellungstheorie der Poincaré-Gruppe (oder eigentlich die induzierte Darstellungstheorie, insbesondere die Kleingruppenmethode von Wigner).

Für ein massives Teilchen mit Spin Null und Masse$m$, ist das Spektrum des Impulsoperators das Hyperboloid$p^2 = m^2$, mit der Energiebedingung$p^0 > 0$, manchmal mit bezeichnet$\Omega_m^+$. Einer der Vorteile dieser Beschreibung besteht darin, dass man ein echtes invariantes Maß erhält und nicht nur ein quasi -invariantes$\Omega_m^+$, gegeben von

Genau genommen ist die Klein-Gordon-Gleichung keine relativistische Version der Schrödinger-Gleichung. Die stationäre Klein-Gordon-Gleichung erhält man durch Ersetzen des relativistischen Impulses durch den Impulsoperator$p_{relativistic} \mapsto -i\hbar\triangledown$im Ausdruck für die Kopplung von Energie und Impuls der STR. Die Klein-Gordon-Gleichung hat viele Nachteile. Beispielsweise ist der fehlerhafte Wert der kritischen Ladung des Kerns Z = 68. Gehen wir anders vor und ersetzen im Ausdruck für den Zusammenhang von Energie und Impuls der SRT den üblichen Impuls durch den Impulsoperator$p_{Nonrelativistic} \mapsto -i\hbar\triangledown$, dann erhalten wir eine ganz andere Gleichung M2. Gleichung M2 hat diese Nachteile nicht. Weitere Details zur Herleitung der M2-Gleichung finden sich in der Publikation: http://vixra.org/abs/1609.0086