Warum sind diese beiden Definitionen für Symmetrien im Lagrange-Äquivalent?

I) Wir interpretieren die Frage von OP (v2) so, dass sie im Wesentlichen nach dem Folgenden fragt.

Was geschieht

L1) wenn die Lagrange-Dichte$\delta {\cal L}= 0$verwandelt sich nicht?

L2) wenn die Lagrange-Dichte$\delta {\cal L}=\varepsilon~ d_{\mu} f^{\mu}$mit einer totalen Raum-Zeit-Divergenz transformiert?

Hier$\delta$bezeichnet eine infinitesimale Transformation

$$\tag{A} \delta\phi^{\alpha}~=~\varepsilon~ (\ldots), \qquad \delta x^{\mu}~=~\varepsilon~ (\ldots),$$ der Felder$\phi^{\alpha}$und Raumzeitkoordinaten$x^{\mu}$. Darüber hinaus,$\varepsilon$ein infinitesimaler Parameter ist, und die Ellipse$\ldots$ist eine Abkürzung für jede Transformation, die wir betrachten.

Beachten Sie zunächst, dass die Terminologie von Autor zu Autor unterschiedlich ist. Einige Autoren (siehe z. B. Ref. 1 und diesen Phys.SE-Beitrag) nennen die Transformation$\delta$für eine Symmetrie und eine Quasi-Symmetrie der Lagrange-Dichte${\cal L}$im Fall L1 bzw. L2. Andere Autoren (siehe z. B. Lit. 2) sprechen von einer strikten Symmetrie bzw. einer Symmetrie . Während andere Autoren einfach anrufen$\delta$für eine Symmetrie in beiden Fällen.

Die beiden Fälle L1 und L2 sind nicht äquivalent, aber der Satz von Noether gilt in beiden Fällen: Es existiert in beiden Fällen ein lokales Erhaltungsgesetz der Form

[Hier das$\approx$Symbol bedeutet Gleichheit modulo eom.] Im Fall L2 muss jedoch der reine Noetherstrom (dh die auf Wikipedia erwähnte Standardformel ) mit (minus) verbessert werden.$f^{\mu}$um den korrekten vollen Noetherstrom zu erhalten$J^{\mu}$in Gl. (B).

II) Schließlich, wie innisfree betont, anstelle der Lagrange-Dichte${\cal L}$, kann man sich auch die Aktion überlegen

Wo$R$bezeichnet eine Raumzeitregion. Oft (aber nicht immer) die Region$R$Es wird angenommen, dass es sich gemäß der horizontalen Transformation transformiert$\delta x^{\mu}$.

Es gibt wieder zwei Fälle:

S1) Die Handlung$\delta S =0$verwandelt sich nicht.

S2) Die Aktion$\delta S =\varepsilon \int_{\partial R} d^{3}x~f$mit einem Randterm transformiert.

In Analogie zu Abschnitt I erfolgt die Transformation$\delta$wird per Definition verschiedene autorenabhängige Variationen des Ausdrucks Symmetrie der Handlung genannt$S$in den beiden Fällen S1 und S2. Der Satz von Noether gilt wieder in beiden Fällen.

Beachten Sie jedoch, dass die Fälle L1 und L2 nicht notwendigerweise auf die Fälle S1 bzw. S2 abgebildet werden. Beispielsweise könnte es vorkommen, dass eine Quasi-Symmetrie (L2) der Lagrange-Dichte entsteht$\cal L$für bestimmte Regionsauswahlen$R$geht in eine strenge Symmetrie (S1) der Handlung über$S$. Ein Beispiel für dieses Phänomen finden Sie zB in meiner Phys.SE-Antwort hier .

Verweise:

1. JV Jose und EJ Saletan, Classical Dynamics: A Contemporary Approach, p. 565.

2. PJ Olver, Anwendungen von Lügengruppen auf Differentialgleichungen, 1993.

Die Definitionen sind äquivalent, weil die Wirkung in jedem Fall invariant ist, d. h.$\delta S = 0$.

Nehmen wir Fall 2, in dem$\delta \mathcal{L} = \partial^\mu F_\mu$. Nach dem Satz von Stokes führt die totale Divergenz zu einem Oberflächenintegral im Unendlichen,

Die Lagrange-Funktion kann sich durch eine Divergenz ändern, da die Wirkung unverändert ist. Denken Sie daran, dass es die Aktion ist, die im Pfadintegral in QFT (und im Prinzip der kleinsten Aktion in CM!) und nicht in der Lagrange-Funktion erscheint. Solange die Wirkung invariant ist, haben wir eine Symmetrie. (Genau genommen muss auch das Maß im Pfadintegral invariant sein – siehe Anomalie Symmetriebrechung.)