Welche Beziehung besteht zwischen der Schwingung des Feldes und der Quantenfluktuation?

Das Wort „Fluktuation“ taucht in vielen verschiedenen Kontexten auf, meistens ohne formale Definition und manchmal mit vielen verschiedenen Bedeutungen.

Zum Beispiel schreibt SF Gull im Kontext der statistischen Mechanik :

Angenommen, wir verwenden den Gibbs-Algorithmus, um ein Gleichgewichts-Ensemble aufzubauen und den Ensemble-Durchschnitt einer interessierenden Größe zu berechnen$f$, zusammen mit seiner Varianz$(\Delta f)^{2} \equiv \langle(f - \langle f \rangle)^{2} \rangle$. Jetzt$\Delta f$stellt sicherlich unsere Unsicherheit über die Menge dar$f$aber nach den meisten Darstellungen der statistischen Mechanik soll es auch die Höhe der zeitlichen Schwankungen von anzeigen$f$. Auch hier liegt also ein Irrtum vor – die Tatsache, dass wir über den Wert einer Größe unsicher sind, bedeutet nicht an sich, dass sie schwanken muss! Natürlich könnte es Schwankungen unterliegen, und wenn dies der Fall wäre, wäre dies ein sehr guter Grund, sich über seinen Wert im Unklaren zu sein. Ohne weitere Analyse wissen wir jedoch einfach nicht, ob es tatsächlich schwankt. Wir haben endlich eine Frage in der statistischen Mechanik gefunden, bei der ergodische Überlegungen wichtig sind. Wir können eine Teilantwort auf dieses Problem in Anlehnung an Jaynes (1979) skizzieren.

Wir definieren

$$\bar{f} = \frac{1}{T} \int{ f(t)\, dt }$$ als langjähriges Zeitmittel u $$(\delta f)^{2} = \frac{1}{T} \int{ ( f(t) - \bar{f} )^{2} \, dt }$$ als langfristige Varianz. Wenn wir Ensemble-Mittelwerte nehmen, finden wir das tatsächlich $\langle f\rangle = \langle \bar{f}\rangle$; Jedoch $$\langle(\delta f)^{2} \rangle = (\Delta f)^{2} + (\Delta \bar{f})^{2}$$ und dieser zweite Term ist nicht unbedingt Null.

Die Situation ist wie folgt: Wenn ein zeitlicher Mittelwert über ein zu kurzes Zeitintervall genommen wird, dann wird die beobachtete Schwankung in$f$kann natürlich \emph{weniger} sein als die$\Delta f$des Gleichgewichtsensembles. Allerdings ist die langfristige Schwankung von$f$kann tatsächlich größer sein als$\Delta f$, abhängig von einer bestimmten Eigenschaft des pdf des Ensembles. Auch dann, obwohl wir rechnen können$\langle \bar{f}\rangle$Und$\langle(\delta f)^{2} \rangle$wie oben, wissen wir immer noch nicht, ob diese Schätzungen zuverlässig sind; Dazu müssen wir Korrelationen höherer Ordnung des Ensembles untersuchen. Die Einzelheiten sind wieder in Jaynes (1979).

Die Moral ist, dass der Gibbs-Algorithmus die Unsicherheit unserer Vorhersagen angibt, nicht die beobachtete zeitliche Schwankung. Zu sagen, dass eine thermodynamische Größe tatsächlich fluktuiert (was natürlich durchaus der Fall sein kann), erfordert eine weitere, entschieden nicht triviale Analyse.

Während Sie also oft Leute über „thermische Schwankungen“ sprechen hören, ist möglicherweise nicht sofort klar, ob das, was sie sagen, tatsächlich etwas bedeutet oder ob es nur ein ausgefallenes Synonym für thermische Effekte ist .

Ganz ähnlich verhält es sich in der Quantenmechanik. Mengen haben intrinsische Unsicherheiten aufgrund einer nicht pendelnden beobachtbaren Algebra, die zu der gleichen Verwirrung wie oben führen kann - zu sagen, dass eine Menge "schwankt", wenn Sie wirklich nur sagen dürfen, dass sie ungewiss ist. Und wie oben wird der Ausdruck „Quantenfluktuationen“ oft als ausgefallenes Synonym für Quanteneffekte verwendet .

Um dieser Diskussion nun etwas Wesentlicheres als reine Semantik hinzuzufügen, betrachten Sie den Casimir-Effekt für ein masseloses Teilchen in einer räumlichen Dimension*. Es sollen Feldkonfigurationen berücksichtigt werden, die bestimmten Randbedingungen gehorchen, z

$$\phi(0,t) = \phi(L,t)$$

Es gibt kein Kontinuum möglicher Modi mehr. Die Erweiterung des Feldes in seinen Fourier-Moden würde etwa so aussehen:

$$\phi(x,0) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} {a_k \exp\left(i \left(\frac{2 \pi k}{L}\right)x\right) + a^\dagger_k \exp\left(-i \left(\frac{2 \pi k}{L}\right)x\right)}$$

Unser Ziel ist es, den Erwartungswert des Hamiltonoperators im Vakuumzustand zu berechnen,

$$\langle 0 | H | 0 \rangle = \sum_{k \in \mathbb{Z} } \omega_k \langle 0 | a_k a^\dagger_k | 0 \rangle = \sum_{k \in \mathbb{Z} } \frac{2 \pi k }{L}$$

So wie sie ist, ist diese Summe offensichtlich divergierend und bedarf einer Regularisierung. Ich werde mich darum nicht kümmern, da dies nicht der Punkt dieses Beitrags ist. Sehen Sie hier , wenn Sie interessiert sind; Beachten Sie nur, dass sie Dirichlet-Randbedingungen verwendet haben und ich periodische Randbedingungen verwendet habe.

Der Sinn dieses Beispiels besteht darin, zu veranschaulichen, was die Leute meinen, wenn sie von „Quantenfluktuationen“ zwischen den Platten sprechen. Sie sind in der Tat mit dem harmonischen Oszillator-Hamiltonian für jeden Fourier-Modus verwandt, aber die Vorbehalte, die in der von ACuriousMind verlinkten verwandten Frage erwähnt wurden, gelten - es gibt eine interessante Diskussion in den Kommentaren zu seiner Antwort, die Sie lesen sollten.

Wir können dies auch mit "thermischen Schwankungen" in Verbindung bringen, indem wir anmerken, dass eine Möglichkeit, endliche Temperaturen in Feldtheorien einzuführen, darin besteht, eine im euklidischen Raum definierte Feldtheorie zu nehmen und periodische Randbedingungen in der (imaginären) Zeitrichtung einzuführen. Damit wird die Analogie zwischen diesen „Quantenfluktuationen“ und „thermischen Fluktuationen“ präzisiert, so dass die Ausführungen von SF Gull direkt anwendbar sind.

*Bitte nehmen Sie dieses Beispiel nicht zu ernst. Dass es in zwei Raumzeitdimensionen keine masselosen Skalarfeldtheorien geben kann, ist eine wohlbekannte Tatsache . Das Beispiel selbst ist in Ordnung, weil die Randbedingungen einen natürlichen Infrarotregler liefern, aber die Interpretation in Bezug auf parallele Platten usw. nicht.

Ich werde sehr mutig sein und versuchen, direkt auf den Punkt zu kommen.

Nein, sie sind nicht dasselbe in dem Sinne, dass ihre Natur sehr unterschiedlich ist, obwohl sie verwandt ist.

Stellen Sie sich einen gewöhnlichen harmonischen Oszillator vor, ob quantenmechanisch oder klassisch, das System schwingt mit einer Frequenz, die unabhängig von der quantenmechanischen (oder klassischen) Natur des Systems ist.

Da ein harmonischer Oszillator effektiv ein begrenztes System ist, gibt es eine Art typische einschränkende "Längenskala", die das Quantenverhalten beeinflusst. Insbesondere wird der Unsicherheit der Position (oder des Verschiebungsfeldes oder was auch immer) eine grobe Grenze auferlegt, was wiederum die Unsicherheit des Impulses dieses Feldes ebenfalls nicht Null macht (aufgrund der Kommutierungsbeziehungen, die sie erfüllen).

Die Tatsache, dass diese Begrenzung einen Impuls ungleich Null erzeugt, wird als Nullpunktfluktuation bezeichnet und führt zu einem Grundzustand ungleich Null Energie (d. h. für immer oszillierend).

Beachten Sie, dass je stärker die "Federkonstante" ist, desto mehr kann sie über diesen Unsicherheitsmechanismus schwanken.

Vorbehalt: Ich werde versuchen, dies zu beantworten, aber ich werde es sehr schnell und locker mit den Definitionen und der Bearbeitung spielen, weil ich zur Arbeit gehen muss. Also, schont mich mit den wählerischen Kommentaren, Hasser. Ohnehin...

Aber ist diese Oszillation oder Vibration derselbe Begriff der Quantenfluktuation oder sind sie verwandt?

Das erste, was zu beachten ist, ist, dass aus dem Beitrag nicht hervorgeht, ob Sie tatsächlich schon etwas "quantisiert" haben; Es ist möglich, die Klein-Gordan-Gleichung im Kontext der klassischen Feldtheorie oder der Quantenfeldtheorie zu untersuchen. Der Unterschied besteht darin, dass in der Quantenfeldtheorie die$\phi(\vec x, t)$sind Operatoren , die einige kanonische Kommutierungsbeziehungen erfüllen. Z.B,

$$[\hat\phi(\vec x),\hat\pi(\vec y)]=i\hbar\delta(\vec x-\vec y)$$

Aber ... da es in der Frage etwas implizit ist ... nehmen wir an, wir haben eine Quantentheorie.

Erinnern Sie sich als Nächstes daran, dass bei der zweiten Quantisierung ein Operator als Integral über die quantisierten Felder geschrieben werden kann. Zum Beispiel:

$$\hat {\vec P} \sim \int d^3x \hat\phi(\vec x)i\nabla \hat\phi(\vec x)\;,$$ Wo $\hat {\vec P}$ist der Gesamtimpulsoperator. Diese Art von Gleichung gilt für einzelne Teilchenoperatoren wie $\hat {\vec P}$, aber keine Zwei-Teilchen-Operatoren wie z. B. die elektrostatische Wechselwirkung (diese Operatoren benötigen vier $\phi$Operatoren zum Ausdrücken in der 2. Quantisierung). Die obige Gleichung ist die "zweitquantisierte" Form des folgenden Ausdrucks für ein festes N-Teilchen-System in "erster Quantisierung": $$\hat {\vec P}=\sum_{i=1}^N\hat {\vec p_i}\;.$$ Wo $\hat {\vec p}_i$ist der Impulsoperator des i-ten Teilchens.

Als nächstes müssen wir genauer sagen, was Sie mit "Quantenfluktuation" meinen. Typischerweise bedeutet dies etwas in der Art, dass die Varianz eines Operators in der Quantentheorie nicht Null, aber in der klassischen Theorie Null oder in der klassischen Theorie unterschiedlich ist. Wobei "die Varianz des Operators$\hat O$" Ich meine

$$\langle \hat O^2\rangle-\langle O\rangle^2\;,$$ bei dem die $<...>$geben Erwartungswerte in Bezug auf einen Quantenzustand an (oder eine Sammlung von Zuständen, wie sie zB durch eine statistische Quantenmatrix spezifiziert sind).

Es ist wichtig zu erkennen, dass wir in der Quantenfeldtheorie immer noch Quantenzustände brauchen, genau wie in der Quantenmechanik. Die Frage erwähnt nur Operatoren, keine Zustände ... also ist sie etwas mehrdeutig ... Ein allgemein betrachteter Zustand ist der sogenannte "Vakuumzustand".$|0\rangle$Dies ist der Zustand, der durch alle Vernichtungsoperatoren vernichtet wird (die Sie in Ihrer Frage nicht definiert haben, aber wir nehmen die übliche Definition an). Andere Besetzungszahlzustände können definiert werden, indem auf den Grundzustand mit Erstellungsoperatoren eingewirkt wird.

Also, wie auch immer, ein gewisser Zustand gegeben$|\Psi\rangle$und einige Betreiber$\hat O$Sie können "Quantenfluktuationen" auf die übliche Weise berechnen, wie Sie es für jedes quantenmechanische System tun würden. Zum Beispiel für die$\hat {\vec P}$Betreiber

$$<P>=\langle \Psi|\int d^3 k a^\dagger(\vec k)\vec k a(\vec k)|\Psi\rangle\;,$$ Wo, $\vec k$ist der Einzelteilchenimpuls.

Wenn$\Psi$ist ein bestimmter Berufsnummernstaat wie zum Beispiel

$$|\Psi\rangle=a^\dagger(\vec k_1)a^\dagger(\vec k_2)|0\rangle$$ dann könnten wir in diesem Fall den Erwartungswert berechnen als $$<O>\sim\int d^3k {\vec k} \langle 0|a_{k_1}a_{k_2} a_k^\dagger a_k a_{k_1}^\dagger a_{k_2}^\dagger |0\rangle\;,$$ wobei dies unter Verwendung der Kommutierungsbeziehungen und linearer Algebra wie ausgewertet werden kann $$a_ka_q^\dagger a_p^\dagger|0>=[a_k,a_q^\dagger a_p^\dagger]|0>=(\delta_{k,q}a_p^\dagger+\delta_{k,p}a_q^\dagger)|0>$$