Widerspricht die Renormierung von QFT der kanonischen Quantisierung?

Widerspricht die Renormierung der QFT der kanonischen Quantisierung?

Bei der kanonischen Quantisierung nehmen Sie die klassischen Felder und kanonischen Impulse und wandeln sie in Operatoren um, und Sie verlangen, dass die Kommutatoren (oder Antikommutatoren) gleich den Poisson-Klammern der ursprünglichen Felder sind. Außerdem müssen Sie den klassischen Hamilton-Operator quantisieren (da klassische Felder pendeln, Quantenoperatoren jedoch nicht, müssen Sie den Hamilton-Operator natürlich gemäß einer wohldefinierten Vorschrift quantisieren, z. B. der Normalordnung). Die Form des Quanten-Hamiltonoperators wird der Form des klassischen ähneln, aber es wird eher ein Operator als eine Zahl sein. Insbesondere wenn eine physikalische Konstante im klassischen Hamilton-Operator erscheint, erscheint sie auch im Quanten-Operator und hat den gleichen Wert. Nun, bei der Renormierung sind die Konstanten, die in der (nackten) Lagrange-Funktion erscheinen, nicht die physikalischen, und unterscheiden sich daher von den Konstanten, die im "klassischen" Lagrangian (und daher Hamiltonian) vorkommen. Der "nackte" Quanten-Hamilton-Operator wird also eine ähnliche Form wie der klassische Hamilton-Operator haben, aber die Konstanten werden völlig (und vielleicht unendlich) anders sein!

Muss das Quantisierungsschema also neu formuliert werden?

Nun, die korrekten Kommutierungsbeziehungen für die nackten Felder müssen mit der Standardmethode (Geschwindigkeiten, Impulse - Ableitungen von L in Bezug auf Geschwindigkeiten) aus der vollständigen Lagrange-Funktion für die nackten Felder (einschließlich Gegenterme) extrahiert werden. Die vollständigen Kommutierungsbeziehungen für jede Art von renormierten Feldern müssen aus den Methoden extrahiert werden, die auf die vollständige Lagrange-Funktion als Funktion von renormierten Feldern angewendet werden. Was ist das Problem? Es ist derselbe Lagrange, nur in verschiedenen Variablen, sodass die beiden Methoden (und Ergebnisse für die Kommutatoren) nur durch eine Feldneudefinition in Beziehung stehen.
Nehmen Sie ein klassisches Feld. Es wird mit einem Lagrange-Operator definiert, der physikalische Konstanten beinhaltet. Berechnen Sie den Hamilton-Operator (über Noether oder Legendre). Auch sie wird physikalische Konstanten enthalten. Wenn Sie die Theorie quantisieren, verwandeln Sie die Felder in Operatoren und ersetzen die Operatoren in H. Jetzt haben Sie also ein Quanten H mit denselben physikalischen Konstanten und derselben Form wie das klassische. Wenn Sie andererseits das L nehmen, das mit nackten Feldern und Konstanten (also keine Gegenbegriffe) ausgedrückt wird, und das H finden, erhalten Sie einen identischen Ausdruck, aber mit nackten statt physikalischen Konstanten.
Wenn ich ein klassisches Feld quantisiere, wird das Feld zum Operator des nackten Feldes oder zum Operator des physikalischen Feldes (mit der Einheit Feldstärke Z)?
@Lior: Vielleicht möchten Sie sich Tacciatis Quantenfeldtheorie für Mathematiker ansehen ... sie geht ganz schön durch die Renormierung in der kanonischen Umgebung.

Antworten (1)

(Nachdem ich über das obige Problem nachgedacht hatte, kam ich auf diese Erklärung, die ich für richtig halte. Mir ist bewusst, dass die Frage selbst nicht 100% gut formuliert wurde).

Es gibt keinen Widerspruch.

Obwohl es "pädagogisch" hilfreich ist, über das Verfahren der Quantisierung nachzudenken, bei dem die Quantentheorie aus der klassischen gewonnen wird, ist es "natürlicher", umgekehrt zu denken - dass die klassische Theorie über die Quantentheorie entsteht der Prozess der "Klassifizierung" (Das liegt daran, dass die Quantentheorie eine grundlegendere Beschreibung der Realität ist). Nun sagen uns die Quantenfeldtheorie und der Renormalisierungsgruppenfluss, dass die effektive Lagrange-Funktion einer Theorie von der Impulsskala der wechselwirkenden Felder abhängt. Mit anderen Worten, Kopplungskonstanten und Masse hängen von der Impulsskala ab. Wenn wir klassische Physik betreiben, verwenden wir normalerweise Lagrange-Operatoren, die niedrigen Impulsskalen entsprechen. Diese Lagrange-Operatoren sind aus der Quantentheorie im Prozess der „Klassifizierung“ zu gewinnen, und der dabei verwendete effektive Lagrange-Operator entsprach der niedrigen Impulsskala. Wenn wir in einer höheren Impulsskala arbeiten würden, würden wir in der Quantentheorie zu einem anderen Lagrange "fließen", und dann würden wir beim "Klassifizieren" der Theorie einen anderen Lagrange erhalten. (Natürlich gibt es keinen Unterschied zwischen der klassischen und der Quanten-Lagrangefunktion; aber die Quantenphysik und die klassische Physik, die sich auf diese identischen Lagrangefunktion beziehen, sind unterschiedlich). Es stimmt also, wenn man nur einen bestimmten Lagrange-Operator einer klassischen Theorie verwendet und diesen quantisiert, dann erhält man einen Hamilton-Operator, der eine andere Abhängigkeit von den physikalischen Konstanten hat als der klassische. Dies liegt daran, dass der Quanten-Hamiltonoperator zusätzliche Gegenterme hat, die die Tatsache, dass sich die Theorie bei verschiedenen Impulsskalen unterschiedlich verhält. Dieses unterschiedliche Verhalten wurde in der klassischen Theorie vergessen, da es von einem bestimmten effektiven Lagrange auf einer bestimmten Impulsskala „klassisch“ wurde.

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