Was ist "Impulsdichte" und warum ist sie für QFT wichtig?

Question

Was ist "Impulsdichte" und warum ist sie für QFT wichtig?

Stan Shunpike

Ich lese Quantenfeldtheorie für begabte Amateure . Auf Seite 98 bieten sie eine Zusammenfassung eines grundlegenden kanonischen Quantisierungsverfahrens:

Schritt I: Schreiben Sie eine klassische Lagrange-Dichte in Bezug auf das Feld auf. Dies ist der kreative Teil, weil es viele mögliche Lagrange gibt. Nach diesem Schritt läuft alles andere automatisch ab.

Schritt II: Berechnen Sie die Impulsdichte und berechnen Sie die Hamilton-Dichte in Form von Feldern.

Schritt III: Behandeln Sie nun die Felder und die Impulsdichte als Operatoren. Legen Sie ihnen Kommutierungsbeziehungen auf, um sie quantenmechanisch zu machen.

Schritt IV: Erweitern Sie das Feld in Bezug auf Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren. Auf diese Weise können wir Belegungsnummern verwenden und gesund bleiben.

Schritt V: Das ist es. Herzlichen Glückwunsch, Sie sind jetzt stolzer Besitzer einer funktionierenden Quantenfeldtheorie, vorausgesetzt, Sie erinnern sich an die normale Ordnungsinterpretation.

Ich verstehe nicht, was Impulsdichte ist oder warum sie an diesem Punkt des Quantisierungsprozesses auftaucht. Wenn mit Schwung, meinen sie wie der Operator $\hat{p}$ , was ist mit dem Positionsoperator $\hat{x}$ ? Warum wird nicht auch ein Positionsdichteoperator benötigt? Alles andere im Verfahren macht für mich Sinn, außer Schritt II. Ich gehe davon aus, dass die Hamilton-Dichte das Hamilton-Gegenstück zur Lagrange-Dichte ist.

Kann jemand erklären, was Impulsdichte ist und warum sie in diesem Schritt des Verfahrens benötigt wird?

Robin Ekmann

Wissen Sie, wie man im Fall der Mechanik von der Lagrange-Formulierung zur Hamilton-Formulierung übergeht?

Stan Shunpike

Nein. Ich bin das nicht sorgfältig durchgegangen. Wenn das der Begriff aus der klassischen Mechanik ist, dann weiß ich, wo ich Informationen finden kann, um diese Frage zu beantworten, und alles macht jetzt Sinn.

Stan Shunpike

Ein Teil meines Zögerns beim Erlernen des Hamiltonoperators war die Komplexität symplektischer Mannigfaltigkeiten. Ich war nicht in der Lage, Tensorprodukte zu verstehen und daher Keilprodukte. Ich hatte also nicht wirklich darauf geachtet. Aber ich nehme an, das ist für die Frage, die ich stelle, nicht wirklich relevant, also wäre es nützlich und wichtig zu wissen, wie man von Lagrangian zu Hamiltonian wechselt.

Robin Ekmann

Ja, Sie müssen nur die zurückrufen

p = \partial L / \partial \dot{x}

$p = \partial L / \partial \dot x$ ,

H = p \dot{x} - L

$H = p\dot x - L$ Teil. Schritt II ist genau das, aber mit Feldern.

Prahar

@StanShunpike - Man kann die kanonische Quantisierung nicht verstehen, ohne die Hamiltonsche Formulierung der klassischen Mechanik zu verstehen. Darüber hinaus sind Kenntnisse über symplektische Mannigfaltigkeiten usw. nicht erforderlich, um über die Grundkenntnisse des Hamilton-Formalismus zu verfügen, die zum Verständnis von QM erforderlich sind.

Stan Shunpike

Ach, tatsächlich? Super! Ich war so ... mangels eines besseren Wortes ... davon abgeschreckt, weil ich einfach noch nicht das Wissen habe, um Strömungen auf Mannigfaltigkeiten im physikalischen Kontext zu verstehen. Aber das ist super. Dann sollte es nicht lange dauern, sich damit vertraut zu machen. Viel weniger Zeit als ich erwartet hatte.

Antworten (1)

Was ist "Impulsdichte" und warum ist sie für QFT wichtig?

Wissen Sie, wie man im Fall der Mechanik von der Lagrange-Formulierung zur Hamilton-Formulierung übergeht?
Nein. Ich bin das nicht sorgfältig durchgegangen. Wenn das der Begriff aus der klassischen Mechanik ist, dann weiß ich, wo ich Informationen finden kann, um diese Frage zu beantworten, und alles macht jetzt Sinn.
Ein Teil meines Zögerns beim Erlernen des Hamiltonoperators war die Komplexität symplektischer Mannigfaltigkeiten. Ich war nicht in der Lage, Tensorprodukte zu verstehen und daher Keilprodukte. Ich hatte also nicht wirklich darauf geachtet. Aber ich nehme an, das ist für die Frage, die ich stelle, nicht wirklich relevant, also wäre es nützlich und wichtig zu wissen, wie man von Lagrangian zu Hamiltonian wechselt.
Ja, Sie müssen nur die zurückrufen $p = \partial L / \partial \dot x$ , $H = p\dot x - L$ Teil. Schritt II ist genau das, aber mit Feldern.
@StanShunpike - Man kann die kanonische Quantisierung nicht verstehen, ohne die Hamiltonsche Formulierung der klassischen Mechanik zu verstehen. Darüber hinaus sind Kenntnisse über symplektische Mannigfaltigkeiten usw. nicht erforderlich, um über die Grundkenntnisse des Hamilton-Formalismus zu verfügen, die zum Verständnis von QM erforderlich sind.
Ach, tatsächlich? Super! Ich war so ... mangels eines besseren Wortes ... davon abgeschreckt, weil ich einfach noch nicht das Wissen habe, um Strömungen auf Mannigfaltigkeiten im physikalischen Kontext zu verstehen. Aber das ist super. Dann sollte es nicht lange dauern, sich damit vertraut zu machen. Viel weniger Zeit als ich erwartet hatte.

QMechaniker · Answer 1

Kommentare zur Frage (v2):

Ein Feld $\phi^{\alpha}:[t_i,t_f]\times \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ ist die feldtheoretische Version einer ( verallgemeinerten ) Ortsvariablen $q^i:[t_i,t_f]\to \mathbb{R}$ in Punktmechanik. Beachten Sie, dass der physische Positionsraum $\mathbb{R}^3$ spielt typischerweise sehr unterschiedliche Rollen in der Feldtheorie und in der Punktmechanik. $^1$
Impulsdichte $\pi_{\alpha}$ ist die natürliche feldtheoretische Verallgemeinerung der Impulsvariablen $p_i$ aus der Punktmechanik. Die (Lagrange-)Impulsdichten sind
$\begin{matrix} (1) & π_{a} := \frac{\partial L}{\partial {\dot{ϕ}}^{a}} \end{matrix}$ $\tag{1}\pi_{\alpha}~:=~\frac{\partial{\cal L}}{\partial\dot{\phi}^{\alpha}}$ analog zu $\begin{matrix} (2) & P_{ich} := \frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}^{ich}} \end{matrix}$ $\tag{2}p_i~:=~\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}$ in Punktmechanik.
Beachten Sie, dass es einen anderen Begriff des Impulses gibt $P^i=T^{0i}$ kommt vom Spannungs-Energie-Impuls-Tensor $T^{\mu\nu}$ , vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.
Man sollte eine Legendre-Transformation durchführen
$\begin{matrix} (3) & {\dot{ϕ}}^{a} ⟷ π_{a} \end{matrix}$ $\tag{3}\dot{\phi}^{\alpha} \quad\longleftrightarrow\quad \pi_{\alpha}$ um zur Hamiltonschen Formulierung zu gelangen. Beachten Sie insbesondere die (Hamiltonschen) Impulsdichten $\pi_{\alpha}$ sind unabhängige Variablen.
Die Hamiltonsche Formulierung wird benötigt $^2$ um die für die Quantisierung notwendigen kanonischen Kommutierungsbeziehungen (CCRs) aufzuerlegen .

--

$^1$ Der Begriff von Raumzeit, Position und Feld kann allgemeiner mit Hilfe der Differentialgeometrie und dem Begriff einer Mannigfaltigkeit definiert werden .

$^2$ Hier diskutieren wir nur den traditionellen Ansatz. Für eine offensichtlich kovariante Hamilton-Formulierung siehe zB auch this und this Phys.SE posts.

Zu Punkt 5 habe ich hier gelesen, physical.stackexchange.com/q/21866/66165 dass wir die Hamiltonsche Formulierung nicht unbedingt brauchen. Verstehe ich den Beitrag falsch?
Es hängt davon ab, was Sie tun möchten. Siehe auch zB diesen Phys.SE Beitrag.

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