In der kanonischen Quantisierung von Feldern wird CCR postuliert als (für skalares Bosonenfeld):
Eigentlich, wenn Sie sich entscheiden, in ein zu quantisieren
Box, viele Probleme werden nicht auftauchen, aber viele Symmetrien können nicht in dieser Annäherung untersucht werden, wie z. B. Translation und Rotation, so dass das nicht der Standardweg wäre,
daher frage ich mich, wie die Strenge im Formalismus im gesamten Raum gewahrt wird, anstatt in einem Kasten- oder Zylindermodell?
Ich fange jetzt an, QFT zu lernen, und weiß wenig über die mathematische Formulierung von QFT, also helfen Sie mir bitte bei diesen konzeptionellen Fragen.
Die Objekte wie z in einer QFT sind genau genommen "Operatorverteilungen". Sie unterscheiden sich von „gewöhnlichen Operatoren“ in der gleichen Weise, wie sich Verteilungen von Funktionen unterscheiden. Nur wenn man solche Operatorverteilungen über eine gewisse Region mit einigem Gewicht integriert ,
In einer freien QFT können die Zustandsvektoren als Kombinationen von Zuständen im Fock-Raum aufgebaut werden – ein unendlichdimensionaler harmonischer Oszillator. Sie können sie aber auch über "Wellenfunktional" darstellen. Ähnlich wie die Wellenfunktion in der nichtrelativistischen Quantenmechanik hängt von 3 Raumkoordinaten ab, eine Wellenfunktion hängt von einer ganzen Funktion ab, . Für jede erlaubte Konfiguration von , gibt es eine komplexe Zahl.
Ja, man darf auch über alle klassischen Funktionen integrieren . Es gibt auch ein Dirac-Delta-ähnliches Objekt, das Dirac "Delta-Funktional", und es wird normalerweise bezeichnet ,
Die funktionale Integration ist eine Art unendlichdimensionale Integration und das Delta-Funktional ist eine unendlichdimensionale Delta-Funktion. Man muss bei diesen Objekten vorsichtig sein, insbesondere wenn wir Amplituden integrieren, die Amplituden haben können, und insbesondere wenn wir über gekrümmte unendlich dimensionale Objekte wie unendlich dimensionale Eichgruppen usw. integrieren – es kann Feinheiten wie Anomalien geben.
Ja, der Hilbert-Raum einer freien QFT ist immer noch isomorph zum üblichen Hilbert-Raum: Es gibt eine abzählbare Basis. Aber wir sprechen nur über die Anregung mit endlicher Energie. Es gibt viele „hocherregte Zustände“, die keine Elemente des Fock-Raums sind – man bräuchte unendliche Besetzungszahlen für alle Ein-Teilchen-Zustände. Physikalisch sind solche Zustände unerreichbar, weil die Energie nicht unendlich sein kann. Wenn man jedoch die Energie von einem Hamilton-Operator zu einem anderen ändert (z. B. durch einfache Operationen wie das Hinzufügen des Wechselwirkungs-Hamilton-Operators), werden erstere endliche Energiezustände können unendliche Energiezustände der letzteren sein und umgekehrt.
Man muss also vorsichtig sein: Der physikalisch relevante Hilbert-Raum mit endlicher Energie kann aus einigen Zuständen mit unendlicher Besetzungszahl in einem anderen, z. B. ungefähren Hamilton-Operator erhalten werden. Es gilt immer noch, dass der relevante Hilbert-Raum so groß wie ein Fock-Raum ist und eine abzählbare Basis hat. Die „völlig unzugänglichen“ Zustände, die zu starke Verformungen sind, haben ein wichtiges Beispiel oder einen wichtigen Namen – sie sind „verschiedene Superselektionssektoren“.
Strenge ist ein starkes Wort. Man hat versucht, eine QFT rigoros zu definieren – durch AQFT, die algebraische/axiomatische Quantenfeldtheorie. Diese Versuche sind weitgehend gescheitert. Das bedeutet nicht, dass es keine "vollständigen Regeln" gibt, denen QFT gehorcht. Stattdessen bedeutet es, dass es nicht hilfreich ist, ein Erbsenzähler zu sein, wenn es um die neuen Probleme geht, die in der QFT im Vergleich zu gewöhnlicheren Modellen der Quantenmechanik auftreten; Es ist weder völlig angemessen zu glauben, dass eine QFT "genau wie ein einfacheres QM-Modell" ist, aber es ist ebenso unangemessen zu vergessen, dass es sich formal um ein Objekt derselben Art handelt. Formal läuft vieles genau gleich ab und es gibt auch neue Probleme (unerwartete Überraschungen, die einer "formalen Behandlung" widersprechen), die eine physikalische Erklärung haben und man diese Erklärung verstehen sollte.
Die Tatsache, dass ein QFT unendlich viele Freiheitsgrade hat, ist sowohl ein IR- als auch ein UV-Problem. Selbst wenn Sie also eine QFT in eine Box stecken, ändern Sie nichts an der Tatsache, dass Sie Wellenfunktionale und Deltafunktionale benötigen und dass es Superselektionssektoren und Zustände gibt, auf die aus dem Fock-Raum nicht zugegriffen werden kann. Mit der Box regulieren Sie nur die IR-Feinheiten, aber es gibt immer noch die UV-Feinheiten (Impulse können auch in einer Box beliebig groß sein). Diese können reguliert werden, indem der QFT auf ein Gitter gelegt wird. Dies hat einige Vorteile, aber auch einige Einschränkungen.