Welche physikalische Bedeutung hat die klassische Grenze für eine Quantenfeldtheorie?

Es hängt alles von der Skalierung ab, dh davon, welcher Parameter in Ihrer effektiven Beschreibung des Systems als klein (groß) angenommen wird.

Es ist üblich, den semiklassischen Parameter als eine Größe zu interpretieren, die "äquivalent" ist$\hbar$, aber auf Null gehen. Das ist bequem, denn in der klassischen Energieskala ist die Plancksche Konstante vergleichsweise sehr klein. Entsprechend können wir uns vorstellen, dass der semiklassische Parameter die Umkehrung der "charakteristischen Frequenz" der Teilchenwelle darstellt (und daher ist die klassische Grenze die Grenze sehr hoher Frequenzen).

Ein weiterer unterschiedlicher Parameter ist die Anzahl der Partikel$N$. Wir können daran denken, die Grenze zu nehmen$N\to\infty$in einem gegeben$N$-Partikelsystem. Es stellt sich heraus, dass dies mathematisch ähnlich ist wie die Annahme der klassischen Grenze , aber die physikalische Interpretation ist ganz anders .

Betrachten wir also ein System von$N$freie nichtrelativistische Massebosonen$1/2$. Ihr Hamiltonian kann geschrieben werden als

$$H_N=\sum_{j=1}^N -\hbar^2\Delta_{x_j}\; ;$$ Wo $\Delta_x$ist der Laplace-Operator oder äquivalent in der Notation "zweite Quantisierung". $$H_N = -\hbar^2\int_{\mathbb{R}^3}a^*(x)\Delta_x a(x)dx\; \Bigr\rvert_{L^2_s(\mathbb{R}^{3N})}\; ;$$ wo die Beschränkung auf $L^2_s(\mathbb{R}^{3N})$bedeutet, dass wir nur den Sektor mit betrachten $N$Teilchen (da hier ja die Zahl der Teilchen erhalten bleibt und es nicht so sinnvoll ist, den ganzen Fockraum zu betrachten).

Nun, wenn Sie das Limit nehmen$N\to\infty$, erhalten Sie tatsächlich ein Energiefunktional (kein Operator mehr, daher eine "klassische" unendlichdimensionale Feldtheorie) des Typs

$$E(u)=-\hbar^2\int_{\mathbb{R}^3}\bar{u}(x)\Delta_x u(x)dx\; ;$$ Wo $u\in L^2(\mathbb{R}^3)$ist die "klassische" (genauer gesagt mittleres Feld) Variable, die der Wertverteilung des Vernichtungsoperators entspricht $a(x)$. Die Interpretation ist eine freie Quanten-Mean-Field-Theorie : $u$stellen die effektive Wellenfunktion eines einzelnen Teilchens unter der Wirkung aller anderen kombinierten Teilchen dar (die sich in diesem Fall auf ein freies Teilchen reduzieren, da es keine Wechselwirkung gab). Mit zwei Körperschwächen (im Limit $N\to\infty$) Interaktion hätten Sie das Hartree-Energiefunktional und die entsprechende Hartree-Dynamik.

Wenn Sie die Grenze nehmen$\hbar\to 0$stattdessen bekommst du$N$freie klassische Teilchen , mit Energiefunktion

$$E(\vec{x},\vec{p})=\sum_{j=1}^N p_j^2\; ;$$ Wo $p_j\in\mathbb{R}^3$ist die Dynamik der $j$-tes Teilchen.

Wie Sie sehen, haben die beiden Grenzwerte ganz unterschiedliche physikalische Interpretationen, auch wenn sie eigentlich mathematisch ziemlich ähnlich sind. Ich bemerke, dass sie auch "kommutativ" kombiniert werden können; Am Ende würden Sie eine klassische Entwicklung vom Wlassow-Typ für unendlich viele klassische Teilchen erhalten (beide, wenn Sie dies vor dem tun$\hbar\to 0$und dann die$N\to\infty$oder umgekehrt).

Anders sieht es aus, wenn man eine "echte" QFT betrachtet, bei der Teilchen erzeugt oder zerstört werden können, zB Photonen in der QED. Dort die klassische Grenze$\hbar\to 0$ergibt erwartungsgemäß direkt eine klassische Feldtheorie . Andererseits ist das mittlere Feld nicht so aussagekräftig, da es Quantenzustände mit einer undefinierten (möglicherweise sehr großen) Anzahl von Teilchen gibt; und da die Anzahl nicht erhalten bleibt, selbst wenn Sie mit einer festen Anzahl von Teilchen beginnen, erhalten Sie nach der Evolution einen Zustand mit einer Wahrscheinlichkeit ungleich Null, unterschiedliche Anzahlen von Teilchen zu haben.