Spontane Symmetriebrechung in der klassischen Mechanik, Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie

Die dritte Frage Q3 ist im Grunde Gegenstand einer sehr aktuellen Arbeit von NP Landsman.

In der Quantentheorie erfordert die spontane Symmetriebrechung, dass das System unendlich dimensional ist. Wenn die Anzahl der Freiheitsgrade endlich ist, findet keine spontane Symmetriebrechung statt. Betrachten Sie zum Beispiel ein Teilchen in einer Dimension, das sich im Potential eines Doppeltopfes bewegt, findet ein Tunneln zwischen den beiden entarteten Zuständen statt, die den Minima des Potentials entsprechen, was zu einem einzigartigen linearen Superpositions-Grundzustand führt. In der unendlichen Anzahl von Freiheitsgraden begrenzen. Die Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen den entarteten Zuständen verschwinden, wodurch der Hilbert-Raum in gegenseitig unzugängliche Sektoren aufgeteilt wird, die über jedem Grundzustand aufgebaut sind.

Es ist bekannt, dass in klassischen Systemen mit endlich vielen Freiheitsgraden eine spontane Symmetriebrechung möglich ist, wie auch in der folgenden Übersicht von Narnhofer und Thirring betont wird. Angenommen, ein (reiner) Zustand in einem klassischen System ist ein Punkt im Phasenraum (ein gemischter Zustand ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Phasenraum); dann bedeutet klassisches spontanes Symmetriebrechen, dass es Anfangsbedingungen gibt, die zu zeitinvarianten Lösungen führen, die unter der Symmetriegruppe nicht invariant sind. Zum Beispiel beschreibt das Platzieren des Teilchens in einer Vertiefung in der Doppelvertiefung ohne genügend Energie, um herauszukommen, einen spontan gebrochenen Zustand.

Es gibt viele andere Beispiele endlicher klassischer Systeme, die eine spontane Symmetriebrechung aufweisen, das bekannteste ist vielleicht das Knicken von Stäben , ein weiteres Beispiel ist das Perlen-, Reifen- und Federsystem .

Nun, wie Landsman betont, Large$N$Quantensysteme sind analog zu klassischen Systemen in dem Sinne, dass Quantenkorrelationen verschwinden als$\frac{1}{N}$, was zu der gestellten Frage führt, dass für endlich$N$Unabhängig davon, wie groß es ist, ist eine spontane Symmetriebrechung nicht zulässig, während das System im thermodynamischen Grenzbereich unendlich wird und die spontane Symmetriebrechung zulässig ist. Die gleiche Frage kann gestellt werden$\hbar \rightarrow 0$.

Landsmans Erklärung ist, dass, wenn N sehr groß wird, das System gegenüber einer symmetriebrechenden Störung exponentiell instabil wird, die das System bereits bei einem sehr großen, aber endlichen Zustand in einen der entarteten Zustände treibt$N$. Landsman führt die Analyse mittels algebraischer Quantenmechanik durch und ein vollständiges Verständnis des Artikels erfordert die Kenntnis seiner früheren Arbeiten.

Ich denke, Sie führen zwei verschiedene Arten von "Symmetriebrüchen" zusammen. Der übliche Begriff der spontanen Symmetriebrechung in kondensierter Materie tritt in der thermodynamischen Grenze auf. Dies geschieht sowohl im klassischen als auch im Quantensystem. In diesem Szenario werden verschiedene Grundzustände unendlich voneinander getrennt. Wenn also in einem Modell mit Spins auf einem Gitter – quantenmechanisch oder klassisch – die Spins ausgerichtet werden, würde es eine unendliche Energiemenge erfordern, sie durch lokale Fluktuationen in eine andere Richtung auszurichten.

Es wird häufig verstanden, dass eine spontane Symmetriebrechung nur im thermodynamischen Limes auftreten kann. Zum Beispiel muss die Zustandssumme bei endlicher Teilchenzahl analytisch sein und daher kann es keinen Phasenübergang und daher kein SSB geben. (Ich gebe offen zu, dass ich nicht ganz verstehe, warum Tatsachen über die unendliche Größengrenze so gut auf große, aber endliche physikalische Systeme im Quantenfall zutreffen.)

Was Sie als die ersten beiden Fälle aufgelistet haben, ist eine Unterscheidung zwischen klassischen und endlichen Quantensystemen, d.h. Das klassische System kann symmetriebrechende Grundzustände haben, während ein endliches Quantensystem dies nicht kann. Dieses unterscheidet sich qualitativ vom üblichen SSB. Es ist nicht spontan .

Nehmen Sie Ihr Higgs-ähnliches Potenzial mit dem klassischen Partikel, das oben beginnt. Wenn Sie nichts tun, sitzt es oben, die Symmetrie bleibt erhalten. Wenn Sie es einmal antippen, watschelt es aus Energieerhaltungsgründen zwischen den beiden Minima hin und her, sodass die Symmetrie im Durchschnitt erhalten bleibt. Wenn Sie versuchen, die Energie abzuleiten, indem Sie Ihr Teilchen an Rauschen koppeln, werden Sie viel Zeit am Fuß eines der Minima verbringen. Aber es gibt eine endliche Wahrscheinlichkeit, dass das Rauschen schwankt und Ihr Partikel zum anderen Brunnen wirft. Wenn Sie also lange genug hinschauen, bleibt die Symmetrie im Durchschnitt erhalten. Sie brauchen die unendliche Potentialbarriere, um eine echte spontane Symmetriebrechung zu haben.

Im Fall eines symmetrischen Doppelwannenpotentials (der Hamilton-Operator ist sogar unter Parität) findet Tunneln zwischen zwei Zuständen statt, die an den beiden Minima lokalisiert sind, vorausgesetzt, die Barriere ist endlich. Diese beiden Zustände sind eine Überlagerung des Grundzustands und des ersten angeregten Zustands des Hamilton-Operators, daher sind sie keine Eigenzustände des Hamilton-Operators. Wenn wir die Barrierenhöhe als Parameter auf unendlich abstimmen, nimmt die Energiedifferenz zwischen Grund- und 1. angeregtem Zustand ab und verschwindet bei unendlicher Höhe, wodurch ein entarteter Grundzustand entsteht, von dem einer unter Parität antisymmetrisch ist (obwohl der Hamilton-Operator unter Parität symmetrisch ist). Dies ist eine spontane Symmetriebrechung.

Um einen Phasenübergang zu beobachten, müssen wir diesen symmetriegebrochenen Grundzustand ausgehend vom Anfangsgrundzustand erreichen, dh wir müssen über diesen lückenlosen (entarteten) Zustand hinaus zu einer negativen Lücke gehen. Wenn wir die Barrierenhöhe erhöhen und das System in Richtung Phasenübergang treiben, wird das Verfahren kurz vor dem kritischen Punkt gestoppt. Leider gibt es keine Möglichkeit, über diesen Punkt hinauszugehen und den Phasenübergang in diesem System zu beobachten.