Frage zum Beweis des Satzes von Goldstone (Zusammenfassung von Kibble)

Question

Frage zum Beweis des Satzes von Goldstone (Zusammenfassung von Kibble)

Blinder Bergmann

Ich habe eine spezielle Frage zu Kibbles Beweis des Goldstone-Theorems, wie zu finden in: http://www.scholarpedia.org/article/Englert-Brout-Higgs-Guralnik-Hagen-Kibble_mechanism#Proof_of_the_theorem

In diesem Beweis betrachtet er nur ein komplexes Skalarfeld mit global $U(1)$ Symmetrie.

Ich habe Mühe, die allerletzte Zeile des Beweises zu verstehen: „Wenn wir in (16) einen vollständigen Satz von Zwischenzuständen einfügen, sehen wir, dass dies impliziert, dass es Zustände geben muss, die an das Vakuum durchkoppeln $\phi$ wofür $k_0\rightarrow0$ als $\mathbf{k}\rightarrow\mathbf{0}$ , also masselose Teilchenzustände.“

Es wäre großartig, wenn mir jemand bei den Schritten helfen könnte, die er hier skizziert. Ich habe versucht, Zwischenzustände einzufügen, aber ich weiß nicht, wie ich zum endgültigen Ergebnis komme.

So weit bin ich gekommen:

F^{0} (k^{0}, k) = - ich \int D^{4} X e^{ich k \cdot X} ⟨ 0 | [J^{0} (X), ϕ (0)] | 0 ⟩ = - ich \int D^{4} X e^{ich k \cdot X} \int \frac{D^{3} k^{'}}{(2 π)^{3} 2 {k^{0}}^{'}} (⟨ 0 | J^{0} (X) | k^{'} ⟩ ⟨ k^{'} | ϕ (0) | 0 ⟩ - ⟨ 0 | ϕ (0) | k^{'} ⟩ ⟨ k^{'} | J^{0} (X) | 0 ⟩)

$f^{0}(k^0,\mathbf{k})=-i\int d^4xe^{ik\cdot x}\langle 0\rvert [j^{0}(x),\phi(0)]\lvert 0\rangle \\ = -i\int d^4xe^{ik\cdot x}\int\frac{d^3\mathbf{k'}}{(2\pi)^32 {k^{0}}'}(\langle0\rvert j^0(x)\lvert k'\rangle\langle k'\rvert\phi(0)\lvert 0\rangle-\langle0\rvert \phi(0)\lvert k'\rangle\langle k'\rvert j^0(x)\lvert 0\rangle)$ , wo ich mittels relativistischer Normalisierung Zwischenzustände eingefügt habe. Wir wissen das

f^{0} (k^{0}, 0) \propto δ (k^{0})

$f^0(k^0,\mathbf{0})\propto\delta(k^0)$ also konzentriert sich der obige Beitrag darauf

k^{0} = 0

$k^0=0$ als

k \to 0

$\mathbf{k}\rightarrow\mathbf{0}$ . Aber ich gehe davon aus, dass es eine geben wird

δ^{(3)} (k - k^{'})

$\delta^{(3)}(\mathbf{k}-\mathbf{k'})$ irgendeine Art, um das Integral über k mit Strichstrich loszuwerden, so dass wir zu einer Schlussfolgerung über k anstelle von k mit Strichstrich kommen können. Womöglich

j^{0} (x)

$j^0(x)$ muss bedienerseitig erweitert werden?

Vielen Dank für Ihre Hilfe!

Kosmas Zachos

Wahrscheinlich ist es einfacher, wenn Sie die 2. Zeile nie schreiben, sondern k = 0 setzen . Die verbleibende Exponentialfunktion exp(itk<sub>0</sub>) ergibt die

δ (k^{0})

$\delta(k^0)$ nur wenn es einen invertierbaren Zustand mit 0-Energieabhängigkeit gibt, der also nicht von t abhängt , ist der Rest des Integranden eine Konstante. Tatsächlich suchen Sie den t-unabhängigen Modus von

j^{0}

$j^0$ .

Blinder Bergmann

Es tut mir leid, Sie hier die Punkte verbinden zu lassen, aber wie funktioniert die Zeitunabhängigkeit von

⟨ 0 | [j^{0} (x), ϕ (0)] | 0 ⟩

$\langle 0\rvert [j^0(x),\phi (0)]\lvert 0\rangle$ die Existenz eines masselosen Zustands implizieren?

Kosmas Zachos

Ich meinte da oben "Zwischenzustand". Du ignorierst die positiven Energiezustände und suchst irgendeinen Nullenergiezustand st

⟨ 0 | j^{0} (0) \exp (- i t k_{0}^{'}) | k^{'} ⟩

$\langle 0|j^0(0) \exp(-it k_0')|k'\rangle$ das ist zeitunabhängig, also

k_{0}^{'} = 0

$k_0'=0$ . Es hebt sich nicht mit seinem folgenden cc auf und ergibt daher eine Konstante, die zu δ-fctn in führt

k^{0}

$k^0$ im Integral gesucht. Ich möchte mich nicht mit der relativistischen Normalisierung aufhalten, weshalb ich mich nicht an Ihre zweite Zeile gewagt habe.

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Wahrscheinlich ist es einfacher, wenn Sie die 2. Zeile nie schreiben, sondern k = 0 setzen . Die verbleibende Exponentialfunktion exp(itk<sub>0</sub>) ergibt die $\delta(k^0)$ nur wenn es einen invertierbaren Zustand mit 0-Energieabhängigkeit gibt, der also nicht von t abhängt , ist der Rest des Integranden eine Konstante. Tatsächlich suchen Sie den t-unabhängigen Modus von $j^0$ .
Es tut mir leid, Sie hier die Punkte verbinden zu lassen, aber wie funktioniert die Zeitunabhängigkeit von $\langle 0\rvert [j^0(x),\phi (0)]\lvert 0\rangle$ die Existenz eines masselosen Zustands implizieren?
Ich meinte da oben "Zwischenzustand". Du ignorierst die positiven Energiezustände und suchst irgendeinen Nullenergiezustand st $\langle 0|j^0(0) \exp(-it k_0')|k'\rangle$ das ist zeitunabhängig, also $k_0'=0$ . Es hebt sich nicht mit seinem folgenden cc auf und ergibt daher eine Konstante, die zu δ-fctn in führt $k^0$ im Integral gesucht. Ich möchte mich nicht mit der relativistischen Normalisierung aufhalten, weshalb ich mich nicht an Ihre zweite Zeile gewagt habe.

Blinder Bergmann · Answer 1

Nach dem, was Cosmas Zachos in seinen Kommentaren dargelegt hat,

F^{0} (k^{0}, 0) = - ich \int D^{4} X e^{ich k^{0} T} ⟨ 0 | [J^{0} (X), ϕ (0)] | 0 ⟩ = G δ (k^{0}),

$f^0(k^0,\mathbf{0})=-i\int d^4xe^{ik^0t}\langle 0\rvert [j^0(x),\phi(0)]\lvert 0\rangle = g\delta(k^0),$ für eine Konstante g ungleich Null. Damit das so bleibt, brauchen wir

⟨ 0 | [j^{0} (x), ϕ (0)] | 0 ⟩

$\langle 0\rvert [j^0(x),\phi(0)]\lvert 0\rangle$ zeitunabhängig sein. Zwischenzustände einfügen,

⟨ 0 | [J^{0} (X), ϕ (0)] | 0 ⟩ = \sum_{k^{'}} (⟨ 0 | J^{0} (X) | k^{'} ⟩ ⟨ k^{'} | ϕ (0) | 0 ⟩ - C . C .)

$\langle 0\rvert [j^0(x),\phi(0)]\lvert 0\rangle = \sum_{k'}(\langle 0\rvert j^0(x)\lvert k'\rangle\langle k'\rvert\phi(0)\lvert 0\rangle - c.c.)$ Jetzt

⟨ 0 | J^{0} (X) | k^{'} ⟩ = ⟨ 0 | e^{ich \hat{P} \cdot X} J^{0} (0) e^{- ich \hat{P} \cdot X} | k^{'} ⟩ = ⟨ 0 | J^{0} (0) e^{- ich k^{'} \cdot X} | k^{'} ⟩,

$\langle 0\rvert j^0(x)\lvert k'\rangle=\langle 0\rvert e^{i\hat{P}\cdot x}j^0(0)e^{-i\hat{P}\cdot x}\lvert k'\rangle=\langle 0\rvert j^0(0)e^{-ik'\cdot x}\lvert k'\rangle,$ Wo

\sum_{k^{'}}

$\sum_{k'}$ ist eine Abkürzung für

\int \frac{d^{3} k^{'}}{(2 π)^{3} 2 k^{' 0}}

$\int\frac{d^3\mathbf{k'}}{(2\pi)^3 2k'^{0}}$ Und

\hat{P} = (\hat{H}, \hat{p})

$\hat{P}=(\hat{H},\hat{\mathbf{p}})$ (

\hat{H}

$\hat{H}$ ist der Hamiltonoperator und

\hat{p}

$\hat{\mathbf{p}}$ ist der Gesamtimpulsoperator). Damit dies zeitunabhängig ist, müssen die zum Matrixelement beitragenden Zustände haben

k^{' 0} = 0

$k'^0=0$ , dh sie sind masselos. Da muss es solche Zustände geben

g \neq 0

$g\neq 0$ .

Woher wissen wir, dass es einen zusätzlichen neuen masselosen Zustand geben muss? Warum kann dieser masselose Zustand nicht das Vakuum sein?
Wenn der einzige Zwischenzustand das Vakuum wäre, würden wir es direkt bekommen $\langle 0| [j^0(x),\phi(0)] |0\rangle=0$ , was ein Widerspruch ist.

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