Vakuumerwartungswert und die Minima des Potenzials

Wir haben die Funktion der externen Quelle$J$, was uns vevs von Feldoperatoren gibt, durch funktionale Differenzierung:

$$e^{-iE[J]} = \int {\cal{D}}\phi\, e^{iS[\phi]+iJ\phi}$$ $$\phi_{cl}=\langle\phi\rangle_J = -\frac{\delta E}{\delta J}$$ Wo $\langle\phi\rangle_J$ist das vev von $\phi$in Gegenwart einer externen Quelle $J$. Dies könnte als sichtbare "Antwort" des Systems auf die Quelle betrachtet werden und wird normalerweise als neue Variable bezeichnet, die als "klassisches Feld" bezeichnet wird. Wir würden es gerne finden, wenn es keine externen Quellen gibt: $J=0$.
Dazu macht man dann den Legendre-Transformationstrick und kommt zur effektiven Aktion : $$\Gamma[\phi_{cl}] = - E - J\phi_{cl}\quad\quad\frac{\delta\,\Gamma}{\delta \phi_{cl}} = - J$$ Erinnern an unser Ziel zu finden $\phi_{cl}$bei $J=0$, kommen wir zur Gleichung. $$\frac{\delta\,\Gamma}{\delta \phi_{cl}} = 0$$ Hinzufügen einer zusätzlichen Annahme, dass $\phi_{cl}$ist raum- und zeitunabhängig: $\phi_{cl}(x) = v$, das effektive Aktionsfunktional $\Gamma[\phi_{cl}]$wird dann auf effektives Potential reduziert $V_{eff}(v)$und die Gleichung wird. $$\frac{dV_{eff}}{dv} = 0$$ Nun, wie David Vercauteren richtig betonte, $V_{eff}(v)$ist nicht die gleiche Funktion wie $V(\phi)$. Aber normalerweise ist es eine gute erste Näherung, weil wir normalerweise Systeme betrachten, bei denen das "echte" Quantenfeld schwach um sein Vakuum schwankt: $\phi(x)=v+\eta(x)$mit $\eta$klein sein.