Warum beeinflusst die kovariante Ableitung den Vakuumerwartungswert des Higgs-Feldes nicht?

Question

Warum beeinflusst die kovariante Ableitung den Vakuumerwartungswert des Higgs-Feldes nicht?

Hallo
Vakuum
Physik
Symmetriebruch
Quantenfeldtheorie

ser

Betrachten Sie die folgende Lagrange-Dichte:

L_{1} = (\partial_{μ} ϕ^{*}) (\partial^{μ} ϕ) - M^{2} ϕ^{*} ϕ - H (ϕ^{*} ϕ)^{2}

$\mathcal{L}_{1} = (\partial_{\mu}\phi^{*})(\partial^{\mu}\phi)-m^{2}\phi^{*}\phi-h(\phi^{*}\phi)^{2}$ für das komplexe Skalarfeld

ϕ

$\phi$ mit

h > 0

$h>0$ . Den Vakuumerwartungswert erhalte ich als Minimum der Hamiltonschen Dichte

\begin{aligned} H_{1} & = π_{ϕ} \dot{ϕ} + π_{ϕ^{*}} \dot{ϕ^{*}} - L_{1} \\ = \frac{1}{C^{2}} | \dot{ϕ} |^{2} + | \nabla ϕ |^{2} + M^{2} | ϕ |^{2} + H | ϕ |^{4} \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{H}_{1} &= \pi_{\phi}\dot{\phi}+\pi_{\phi^{*}}\dot{\phi^{*}} - \mathcal{L}_{1} \\ &= \frac{1}{c^{2}}|\dot{\phi}|^{2}+|\nabla\phi|^{2}+m^{2}|\phi|^{2}+h|\phi|^{4} \end{align}$ gegenüber

| ϕ |

$|\phi|$ . Hier sind die kanonischen Impulse

\begin{aligned} π_{ϕ} & = \frac{\partial L_{1}}{\partial \dot{ϕ}} = \frac{1}{C^{2}} \dot{ϕ^{*}}, \\ π_{ϕ^{*}} & = \frac{\partial L_{1}}{\partial \dot{ϕ^{*}}} = \frac{1}{C^{2}} \dot{ϕ} . \end{aligned}

$\begin{align} \pi_{\phi} &= \frac{\partial\mathcal{L}_{1}}{\partial\dot{\phi}}=\frac{1}{c^{2}}\dot{\phi^{*}},\\ \pi_{\phi^{*}} &= \frac{\partial\mathcal{L}_{1}}{\partial\dot{\phi^{*}}}=\frac{1}{c^{2}}\dot{\phi}. \end{align}$ Für den symmetriegebrochenen Fall

m^{2} < 0

$m^{2}<0$ , Ich finde

| ϕ_{0} | = \sqrt{\frac{- M^{2}}{2 H}} .

$|\phi_{0}| = \sqrt{\frac{-m^{2}}{2h}}.$ Ersetzen der partiellen Ableitung durch die kovariante Ableitung

\partial_{μ} ϕ \mapsto D_{μ} ϕ = (\partial_{μ} - ich G A_{μ}) ϕ .

$\partial_{\mu}\phi\mapsto D_{\mu}\phi = (\partial_{\mu}-igA_{\mu})\phi.$ und Addieren des freien Teils des Vektorfelds

A_{μ}

$A_{\mu}$ ,

- \frac{1}{4} F_{μ v} F^{μ v},

$-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},$ die Lagrange-Dichte ist

L_{2} = [(\partial_{μ} + ich G A_{μ}) ϕ^{*}] [(\partial^{μ} - ich G A^{μ}) ϕ] - M^{2} ϕ^{*} ϕ - H (ϕ^{*} ϕ)^{2} - \frac{1}{4} F_{μ v} F^{μ v}

$\mathcal{L}_{2} = [(\partial_{\mu}+igA_{\mu})\phi^{*}][(\partial^{\mu}-igA^{\mu})\phi]-m^{2}\phi^{*}\phi-h(\phi^{*}\phi)^{2}-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ und ich erhalte eine ähnliche Hamiltonsche Dichte

\begin{aligned} H_{2} = & π_{ϕ} \dot{ϕ} + π_{ϕ^{*}} \dot{ϕ^{*}} + (π_{A})_{γ} \dot{A^{γ}} - L_{2} \\ = & \frac{1}{C^{2}} | \dot{ϕ} |^{2} + | \nabla ϕ |^{2} + M^{2} | ϕ |^{2} + H | ϕ |^{4} \\ + 2 G A^{N} Ich bin [ϕ^{*} (\partial_{N} ϕ)] - G^{2} A_{μ} A^{μ} | ϕ |^{2} - (\partial_{N} A_{μ}) F^{N μ}, \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{H}_{2} = &\pi_{\phi}\dot{\phi}+\pi_{\phi^{*}}\dot{\phi^{*}}+(\pi_{A})_{\gamma}\dot{A^{\gamma}} - \mathcal{L}_{2} \\ = &\frac{1}{c^{2}}|\dot{\phi}|^{2}+|\nabla\phi|^{2}+m^{2}|\phi|^{2}+h|\phi|^{4}\\ &+ 2gA^{n}\text{Im}[\phi^{*}(\partial_{n}\phi)]-g^{2}A_{\mu}A^{\mu}|\phi|^{2}-(\partial_{n}A_{\mu})F^{n\mu}, \end{align}$ Wo

μ \in {0, 1, 2, 3}

$\mu\in\{0,1,2,3\}$ Und

n \in {1, 2, 3}

$n\in\{1,2,3\}$ . Hier sind die kanonischen Impulse

\begin{aligned} π_{ϕ} & = \frac{\partial L_{2}}{\partial \dot{ϕ}} = \frac{1}{C} [\frac{1}{C} \dot{ϕ^{*}} + ich G ϕ^{*} A^{0}], \\ π_{ϕ^{*}} & = \frac{\partial L_{2}}{\partial \dot{ϕ^{*}}} = \frac{1}{C} [\frac{1}{C} \dot{ϕ} - ich G ϕ A^{0}], \\ (π_{A})_{γ} & = \frac{\partial L_{2}}{\partial (\dot{A^{γ}})} = - \frac{1}{C} G_{μ γ} F^{0 μ} . \end{aligned}

$\begin{align} \pi_{\phi} &= \frac{\partial\mathcal{L}_{2}}{\partial\dot{\phi}}=\frac{1}{c}\left[\frac{1}{c}\dot{\phi^{*}}+ig\phi^{*}A^{0}\right],\\ \pi_{\phi^{*}} &= \frac{\partial\mathcal{L}_{2}}{\partial\dot{\phi^{*}}}=\frac{1}{c}\left[\frac{1}{c}\dot{\phi}-ig\phi A^{0}\right],\\ (\pi_{A})_{\gamma} &=\frac{\partial \mathcal{L}_{2}}{\partial (\dot{A^{\gamma}})} =-\frac{1}{c}g_{\mu\gamma}F^{0\mu}. \end{align}$

Wenn ich verlange, dass der Vakuum-Erwartungswert real ist (ähnlich dem einheitlichen Messgerät) und vernachlässige $(\partial_{n}A_{\mu})F^{n\mu}$ als Ausgleich gibt es noch den Beitrag $g^{2}A_{\mu}A^{\mu}|\phi|^{2}$ modifizieren $m^{2}$ . Dadurch ändert sich der Vakuumerwartungswert im symmetriegebrochenen Fall $m^{2}<0$ und macht sie vom Eichfeld abhängig. Mehrere Bücher ("Fields, symmetries and quarks" von Mosel, Kap. 9.1; "Symmetries in Physics" von Ludwig, Falter, Kap. 14.4.3; "Group theory in physics, Vol. II" von Cornwell, Kap. 19.4) behaupten, dass sich der Vakuumerwartungswert gegenüber der unmodifizierten Lagrange-Dichte nicht ändert. Es sollte auch nicht davon abhängen $A_{\mu}$ , da sonst die Eichtransformation zur Entfernung des masselosen Goldstone-Bosons den Vakuumerwartungswert beeinflussen würde.

Frage: Was spricht dafür, dass der Vakuumerwartungswert nicht vom Eichfeld abhängt? $A_{\mu}$ , ausgehend von der Hamiltonschen Dichte $\mathcal{H}_{2}$ ? Ich interessiere mich für eine eher technische Lösung.

Haftungsausschluss: Ich habe bereits gefunden:

aber beide Adresse $\mathcal{L}_{1}$ .

apt45

Können Sie uns erklären, warum die anderen Antworten nicht zufriedenstellend sind? Auf diese Weise können wir versuchen, sie zu verbessern

ohneVal

Ein weiteres interessantes Papier, das ich gefunden habe, ist iopscience.iop.org/article/10.1088/0305-4470/19/11/017 , es bestätigt Ihre Berechnung in gewisser Weise. Ich verstehe jedoch immer noch nicht, wie ich die Stabilität verstehen soll, die durch die verursacht wird

A A ϕ ϕ

$AA\phi\phi$ Begriff...

Prahar

Sie müssen Bewegungsgleichungen für alle Felder lösen, nicht nur für den Skalar. Die für A setzt es im Vakuum auf Null (auch die Lorentz-Invarianz schreibt dies vor, es sei denn, Sie möchten, dass diese Symmetrie auch spontan gebrochen wird).

Antworten (2)

Warum beeinflusst die kovariante Ableitung den Vakuumerwartungswert des Higgs-Feldes nicht?

Können Sie uns erklären, warum die anderen Antworten nicht zufriedenstellend sind? Auf diese Weise können wir versuchen, sie zu verbessern
Ein weiteres interessantes Papier, das ich gefunden habe, ist iopscience.iop.org/article/10.1088/0305-4470/19/11/017 , es bestätigt Ihre Berechnung in gewisser Weise. Ich verstehe jedoch immer noch nicht, wie ich die Stabilität verstehen soll, die durch die verursacht wird $AA\phi\phi$ Begriff...
Sie müssen Bewegungsgleichungen für alle Felder lösen, nicht nur für den Skalar. Die für A setzt es im Vakuum auf Null (auch die Lorentz-Invarianz schreibt dies vor, es sei denn, Sie möchten, dass diese Symmetrie auch spontan gebrochen wird).

Knzhou · Answer 1

Gute Frage; Lassen Sie uns zunächst die Einrichtung zusammenfassen. Das Finden der Vevs von Feldern im Grundzustand ist wirklich eine Frage der Quantenfeldtheorie. In einführenden Lehrbüchern ignorieren wir jedoch Quanteneffekte in der Hoffnung, dass sie klein sein werden, und behandeln jedes Gebiet als klassisch. Dies ist vernünftig, denn wenn Sie ein klassisches VEV ungleich Null haben, sollten die Quanteneffekte in einer Potenzreihe eintreten $\hbar$ und daher "klein" sein. Die Power-Serie ist wirklich in $\hbar g^2$ , also ist dies tatsächlich eine schwache Kopplungsnäherung.

Jedenfalls bedeutet das in einer Theorie mit $n$ Felder können wir uns jedes Feld nur als eine gewöhnliche Funktion im Raum vorstellen. Als nächstes bedeuten Gradiententerme im Hamilton-Operator, dass die Felder konstant sein müssen, um die Energie zu minimieren. Das Problem läuft also darauf hinaus, eine einfache Funktion von zu minimieren $n$ Variablen.

Der Fall von Eichtheorien ist jedoch subtiler. Erstens gibt es verschiedene klassische Konfigurationen der Felder, die dem exakt gleichen physikalischen Zustand entsprechen. Beispielsweise eine Konfiguration, in der $A_\mu = 0$ ist äquivalent zu einer Konfiguration $A_\mu = \partial_\mu \Lambda$ für jede Funktion $\Lambda$ , also müssen sie die gleiche Energie haben, obwohl letztere eine schnelle räumliche Variation aufweisen kann. Zweitens sehen wir, dass es Begriffe gibt $\mathcal{H}$ die linear sind $\partial_\mu \phi$ , so dass die minimale Energiekonfiguration nicht konstant sein muss $\phi$ entweder.

Diese Probleme hängen zusammen und machen es sehr schwierig, das klassische Minimum des Potenzials zu finden, ohne das Messgerät zu fixieren. Es gibt ein klassisches Minimum wo $\phi$ ist einfach konstant und gleich dem, was es ohne das Gauge-Feld wäre, aber es ist Gauge-Äquivalent zu allen Arten von komplizierten Konfigurationen, in denen beides vorhanden ist $\phi$ Und $A_\mu$ variieren.

Um aus diesem Schlamassel herauszukommen, müssen wir den Fehler beheben. Wir haben die Eichtransformationen

A_{μ} \to A_{μ} + \partial_{μ} Λ, ϕ \to e^{ich G Λ} ϕ .

$A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu \Lambda, \quad \phi \to e^{i g \Lambda} \phi.$ Daher können wir wählen

Λ

$\Lambda$ so dass

ϕ

$\phi$ ist zur Zeit echt

t = 0

$t = 0$ . Das macht das problematisch

A^{i} Im (ϕ^{*} \partial_{i} ϕ)

$A^i \text{Im}(\phi^* \partial_i \phi)$ Begriff verschwinden. Da nun alle Gradiententerme quadratisch sind, müssen die vevs konstant sein, also haben wir

H = M^{2} | ϕ |^{2} + H | ϕ |^{4} - G^{2} A_{μ} A^{μ} | ϕ |^{2} .

$\mathcal{H} = m^2 |\phi|^2 + h |\phi|^4 - g^2 A_\mu A^\mu |\phi|^2.$ Jetzt haben wir noch ein Problem, weil

A_{μ} A^{μ}

$A_\mu A^\mu$ hat ein unbestimmtes Vorzeichen, daher scheint dieses Potential unten nicht begrenzt zu sein. Aber wir haben noch nicht alle Eichfreiheiten aufgebraucht, da wir die zeitliche Abhängigkeit von nicht spezifiziert haben

Λ

$\Lambda$ . Wir haben also immer noch die Freiheit, uns zu verwandeln

A_{0} \to A_{0} + \partial_{0} Λ

$A_0 \to A_0 + \partial_0 \Lambda$ die wir verwenden können, um zu setzen

A_{0} = 0

$A_0 = 0$ zum Zeitpunkt

t = 0

$t = 0$ . Dann haben wir

H = M^{2} | ϕ |^{2} + H | ϕ |^{4} - G^{2} A_{ich} A^{ich} | ϕ |^{2}

$\mathcal{H} = m^2 |\phi|^2 + h |\phi|^4 - g^2 A_i A^i |\phi|^2$ das ist ja dank dem definitiv positiv

(+ - - -)

$(+---)$ Unterschrift. Das Minimieren dieser Funktion ist jetzt einfach; Wir müssen haben

A_{i} = 0

$A_i = 0$ , und Finden des Werts von

| ϕ |

$|\phi|$ verfährt wie im ungeladenen Fall. Natürlich werden die Werte der vevs eichabhängig sein, aber nicht alle Werte von eichinvarianten Observablen, die wir ableiten.

+1: Dies ist die vollständigste und am wenigsten handgewellte Antwort.
Schöne Erklärung. Wenn ich jetzt einen Schritt weiter zum Higgs-Mechanismus gehe, drücke ich das Skalarfeld aus als $\phi=\phi_{0}+(\varphi_{1}+i\varphi_{3})/\sqrt{2}$ , lassen Sie höhere Ordnungen in den Feldern weg und erhalten Sie ein massives Feld $\varphi_{1}$ und ein masseloses Feld $\varphi_{2}$ . Ich dachte, dass um zu entfernen $\varphi_{2}$ , ich muss die Messgerätefreiheit in verwenden $A_{\mu}$ : $A_{\mu}\mapsto A_{\mu}-(\partial_{\mu} \varphi_{2})/(-2g|\phi_{0}|)$ . Aber aus Ihrer Erklärung scheint es, dass diese Freiheit bereits zum Wohle ausgegeben wird $\phi_{0}$ .
@ser Durch Einstellen der Phase von $\phi$ Konstante, $\varphi_2$ wurde bereits entfernt!
Du hast Recht. Abgesehen von höheren Ordnungen in den Feldern gibt es nur Ableitungen von $\varphi_{2}$ , die für konstant verschwinden $\varphi_{2}$ . Danke für die Klarstellung.
Nur um zur Motivation des ersten Teils zu kommen: Wir fixieren die räumliche Abhängigkeit von $\Lambda$ bei $t=0$ um sicherzustellen, dass die vevs echt sind?
@ser Ah, stimmt. Ich schrieb "um die Phase zu reparieren", sagte aber "um einzustellen $\phi$ real" ist intuitiver und im Grunde gleichwertig.

Drake Marquis · Answer 2

VEV stellt eigentlich eine Lösung der Bewegungsgleichungen dar. Finden Sie einfach die Bewegungsgleichungen und setzen Sie alle partiellen Ableitungen auf Null, weil wir das Vakuumverhalten untersuchen wollen.

Für das 4-Potential lautet seine Bewegungsgleichung $\propto A^\mu|\phi|^2=0$ , also ist sein VEV null. Deshalb ändert sich der VEV von Higgs nicht.

Der Ansatz der Bewegungsgleichung klingt vernünftig. Aus Neugier: Reicht die Forderung nach Stationarität (zeitliche Unabhängigkeit) und Homogenität (räumliche Unabhängigkeit) aus, damit die Bewegungsgleichung den Vakuum-Erwartungswert angibt?
Ja. Sie fordern einfach die Stationarität und die Homogenität, um den VEV zu erhalten. Schließlich wollen wir den kleinsten Energiezustand.

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