Was ist der Erwartungswert des Zahlenoperators, wenn das Vakuum ein VEV hat?

Das Vakuum mit$\langle 0|h|0\rangle=v$hat einen verschobenen Erwartungswert, ist aber durch einen ähnlichen Gaußschen Wert gegeben wie der Möchtegern-Wert$h=0$Vakuum. Um Erwartungswerte auf diese Weise zu verschieben, muss man den sogenannten „kohärenten Zustand“ konstruieren. Der$h=v$Vakuum ist auch ein kohärenter Zustand.

Dieser kohärente Zustand bewahrt jedoch immer noch die räumlichen und zeitlichen Translationssymmetrien, also nur$p^\mu=0$Diesem Kondensat werden physikalische Higgs-Bosonen zugesetzt. Das physikalische Vakuum kann man sich ähnlich wie diesen kohärenten Zustand vorstellen:

$$|0\rangle = \exp(C\cdot a^\dagger_{p=0}) |h=0\rangle$$ Ähnlich wie alle kohärenten Zustände in der Quantenphysik (harmonische Oszillatoren jeder Dimension) weigert er sich, ein Eigenzustand des Zahlenoperators zu sein $N$, Natürlich. Wenn Sie die Exponentiale taylorexpandieren, werden Sie sehen, dass der kohärente Zustand eine lineare Überlagerung von Zuständen mit unterschiedlichen Werten von ist $N$– mit unterschiedlichen Befugnissen des Erstellungsoperators.

Sie können aber trotzdem den Erwartungswert von berechnen$N$. Das erfährst du, weil$a^\dagger,a$werden auf die 3D-Delta-Funktion normiert, der Erwartungswert von$N$wird proportional zum dreidimensionalen Volumen der Region skaliert. So$\langle N \rangle \sim V$. Um den Koeffizienten zu berechnen, muss man etwas rechnen und das Ergebnis wird sowieso nicht allzu aussagekräftig sein, weil die$h=0$Zustand ist ohnehin kein Energie-Eigenzustand für die physikalische Wahl des Potentials. Und selbst wenn Sie die Verwendung unterschiedlicher Potentiale für die beiden Vakuumzustände zulassen, werden die beiden Gaußschen "Wellenfunktionen" wahrscheinlich auch eine unterschiedliche Breite haben, so dass einer nicht nur ein kohärenter, sondern "zusammengedrückter" Zustand ist, der aus dem anderen aufgebaut ist.

Aber man kann dem Koeffizienten immer noch "moralisch" eine Schätzung der Größenordnung zuweisen. Bei der Dimensionsanalyse ist eine Potenz der elektroschwachen Skala die einzige Dimensionskonstante, die eintreten kann. Deshalb,

$$\langle N \rangle = K\cdot V\cdot m_{ew}^3$$ Wo $K$eine numerische Konstante der Ordnung eins und ist $m_{ew}$ist im Auftrag der Higgs vev $v$oder Higgs-Masse $m_h$. Pro „elektroschwachem Volumen“ befindet sich etwa ein Higgs-Boson im Kondensat; Letzteres ist ungefähr ein Würfel mit Seite $10^{-18}$Meter.

Man muss betonen, dass die obige kohärente Zustandskonstruktion in Bezug auf reale Teilchen erweitert werden kann. Wir sprechen von Zuständen im Hilbert-Raum, also gehören sie natürlich alle zum "Fock-Raum", der nur aus echten Teilchen besteht. Es macht keinen Sinn zu sagen, dass wir "virtuelle Partikel" hinzufügen. Virtuelle Teilchen sind nur Zusätze zu einem bestimmten "Prozess" (ein Feynman-Diagramm), keine Zusätze zu einem Zustand im Hilbert-Raum! Und sie sind kurzlebig, während das Higgs-Kondensat statisch und unendlich langlebig ist.

Das Hinzufügen des Higgs-Kondensats, das das vev verschiebt, entspricht dem Hinzufügen eines neuen "linearen" Scheitelpunkts zu den Feynman-Regeln der ursprünglichen Theorie. Dieser lineare Scheitelpunkt hat nur 1 Außenschenkel. Es kann durch Higgs-Propagatoren an andere Ecken, zB die kubische Yukawa-Ecke, angehängt werden, und dieser Propagator sieht aus wie ein externes Bein und erzeugt Massenterme für die Fermionen (im Beispiel der Yukawa-Ecke) aus der Yukawa-Würfelecke. Ähnlich für andere Interaktionen.

Wenn ein Feld$\phi(x)$hat einen VEV ungleich Null$v$, das Feld, dessen Fourier-Komponenten die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren definieren, ist$\phi(x)-v$, die einen Null-VEV hat, und noch einmal$N|0\rangle=0$.

Eine Interpretation im Sinne des Originals$\phi$ist hochgradig undefiniert und grenzwertabhängig, und ihm kann keine sinnvolle physikalische Bedeutung gegeben werden, obwohl es formal wie ein Meer aus unendlich vielen virtuellen Teilchen aussieht.