Wird SU(2)SU(2)SU(2) wirklich vom Higgs VEV gebrochen oder nur versteckt?

Ich werde den obigen Punkt verstärken, dass sich Zahlen unter Symmetrien nicht transformieren – nur Multipletts tun dies. Ihr QFT-Text sollte dies bei der Einführung von SSB klar erläutern. Wenn nicht, versuchen Sie es mit dem ausgezeichneten S. Coleman, Aspects of Symmetry, 1985 .

Natürlich ist die Symmetrie immer noch da , also nur versteckt: Eine Änderung der Variablen kann weder die Physik noch die Mathematik verändern! Die beteiligten Ströme und Ladungen bleiben erhalten, wenn auch jetzt im nichtlinearen Nambu-Goldstone-Modus realisiert. Die Frage, die Sie sich im Wesentlichen stellen, ist, wie Sie das scheinbare Brechen "sehen" können. Wenn man die relevanten Dimensionen in Vorfaktoren aufnimmt, ist vev v nur eine Zahl, wie 5 oder 37. Während sich also < Φ >= (0, v ) unter der Symmetrie transformiert, allein, isoliert, also im Elektronenmassenterm, es transformiert sich nicht mehr als 5 oder 37 unter einer Symmetrie.

Lassen Sie mich den Punkt dramatisieren, indem ich Ihnen das offensichtlich verwirrende physikalische Gerüst erspare, indem ich nur zwei reelle 2-Vektoren ( A,B ) und ( a,b ) betrachte. Ihr Skalarprodukt (A,B).(a,b)=Aa+Bb ist ein Skalar, unveränderlich unter einer Drehung um θ, nehmen Sie es der Einfachheit halber als unendlich klein, also a → a+θb, A → A+θB , b → b – θa, B → B – θA . Also verschwindet die O(θ)-Variation davon unter der Rotation.

Das Ändern von Variablen auf b = 37+ b' würde weder den Vektor noch ihr Skalarprodukt Aa+Bb'+37B ändern , das jetzt sicher asymmetrisch aussieht (obwohl Sie jetzt wissen, woher es kommt, also ist es symmetrisch). A fortiori, wenn Sie den Vektor <( a,b )>=(0,37) wählen würden, wäre ihr Skalarprodukt auch unter Drehungen invariant, obwohl es jetzt sicher wie 37 B aussieht , wenn Sie seine Vergangenheit nicht kennen würden: dass es sich um einen bestimmten Wert eines 2-Vektors ( a,b ) handelt.

In den verschobenen Variablen ist δa= θ(37+b') und δb'= -θa , und natürlich transformieren Sie die Zahl 37 nicht. Dennoch ist das obige asymmetrische Punktprodukt unveränderlich. Es sieht asymmetrisch aus, also "kaputt", was mit diesem verrückten zusätzlichen Term von 37B zu tun hat, aber Sie können rückwärts arbeiten und Ihre linearen Transformationsgesetze ändern, um es invariant zu machen, unter dem gerade verwendeten, und dann rückwärts arbeiten, um das zu "sehen". Symmetrie.

Was Tony Zee nun etwas elliptisch vorschlägt, ist, dass es unter anderen Umständen denkbar wäre, einige Symmetrien zu brechen/zu verbergen, andere jedoch nicht. Wenn man zum Beispiel einen 3-Vektor-vev (0,0, v ) hätte, würde es eine Symmetrie geben, die die erste und die zweite Komponente gegeneinander dreht und immer noch linear realisiert wird, wodurch dieses vev invariant bleibt. Wenn Sie dies alles für 3-Vektoren wiederholen, sehen Sie immer noch eine manifeste Restsymmetrie (Wigner-Weyl-Modus) in Ihrem Skalarprodukt zwischen der ersten und der zweiten Komponente. Im Standardmodell, betont Zee, passiert dies jedoch nicht: Die gesamte SU(2) bricht/verbirgt sich auf diese Weise.

Erstens, um die Invarianz des Terms zu zeigen$\bar{\psi}_L \phi \psi_R$, müssen Sie jeweils umwandeln:

$\psi_L \to e^{-i \alpha^a(x) \frac{\sigma_a}{2} -i \alpha(x) \frac{Y}{2}} \psi_L$

$\psi_R \to e^{-i \alpha(x) \frac{Y}{2}} \psi_R$

$\phi \to e^{-i \alpha^a(x) \frac{\sigma_a}{2} -i \alpha(x) \frac{Y}{2}} \phi$

(a=1,2,3), so dass die Invarianz den Term benötigt$e^{i \frac{\alpha(x)}{2} (y_{L} - y_\phi - y_R)}$gleich 1 sein, dh$y_{L} - y_\phi - y_R = 0$Wo$y_L,y_R$Und$y_\phi$sind jeweils die schwache Überladung des linkshändigen Dubletts$\psi_L$, Unterhemd für Rechtshänder$\psi_R$und das Higgs-Dublett. (Dein$U$Matrix war nur$e^{-i \alpha^a(x) \frac{\sigma_a}{2}}$). Nebenbei die Überladung des Higgs ($y_\phi=1)$wird entsprechend gewählt, was erklärt, warum das positiv geladene komplexe Feld die obere Komponente des Higgs-Felds ist ($Q = T_3 + \frac{Y}{2}$mit$T_3 = \frac{\sigma_3}{2}$).

Zweitens wird nach der spontanen Symmetriebrechung der Term auf reduziert$v \bar{e}_R e_L$(+ die Higgs-Kopplung) mit$\psi_L = \begin{pmatrix}\nu_L\\ e_L\end{pmatrix}$wie du geschrieben hast. Wenn Sie ihn nun unter der Symmetrie transformieren, ist der Term nicht mehr invariant ($v$eine einfache Zahl ist, die von der Transformation nicht betroffen ist).