Wie findet man die Higgs-Kopplung mit einer Mischmatrix?

Es ist bekannt, dass die Kopplungen zum Higgs für Fermionen proportional zur Masse sind;

$$g_{hff}=\frac{M_f}{v}$$ Wo $v$ist das VEV des Higgs-Feldes. Ich versuche herauszufinden, warum dies wahr ist, ohne alle Interaktionsterme explizit zu konstruieren .

Zunächst kann ich sagen, dass der Lagrangian, der masselos ist, das Higgs-Feld erfordert$\vec{\phi}=\left( \begin{array}{c} \phi^1\\ \phi^2\\ \end{array} \right)$(schwaches Dublett), das den Fermionen einen symmetriebrechenden Teil und eine Kopplung hinzufügt.

Die Kopplung ist proportional zu

$$g(\bar{\psi}_L\vec{\phi}\psi_R+\bar{\psi}_R\phi^\dagger\psi_L)$$ Wo $\psi_L$ist ein schwaches Dublett $\psi_R$ein schwaches Singulett.

Nach der Symmetriebrechung können wir das Higgs-Feld also schreiben als$\vec{\phi}=\left( \begin{array}{c} 0\\ v+h(x)\\ \end{array} \right)$wegen dem Lokal$SU(2)_W$Symmetrie. Daher wird die Kopplung

$$gv(\bar{\psi}^{(2)}_L\psi_R+\bar{\psi}_R\psi^{(2)}_L)+gh(\bar{\psi}^{(2)}_L\psi_R+\bar{\psi}_R\psi^{(2)}_L)$$ bei dem die $(2)$Exponent gibt die Komponente im Dublett an. Dann können wir die Felder als Dirac-Felder umschreiben: $\psi=\psi^{(2)}_L+\psi_R$was gibt $$gv\bar{\psi}\psi+gh\bar{\psi}\psi$$

Daraus identifizieren wir die Masse des fermionischen Feldes als$M_f=gv$was impliziert, dass die kopplung zum higgs ist

$$g_{hff}=\frac{M_f}{v}$$

Natürlich habe ich nur eine Familie von Fermionen betrachtet, also ist meine Frage, wie ich das Argument verallgemeinere, wenn die Kopplung eine Familienmischung beinhaltet?

$$g(\bar{L}\vec{\phi}\Lambda R+\bar{R}\Lambda^\dagger\vec{\phi}^\dagger L)$$ Wo $\Lambda$ist eine Familienmischmatrix. Geht es direkt aus der Diagonalisierung der Mischmatrix?