Fragen zu Drehimpuls und 3-dimensionalem (3D) Raum?

F1: Wie wir wissen, gibt es in der klassischen Mechanik (CM) gemäß dem Satz von Noether immer eine Erhaltungsgröße, die einer bestimmten Symmetrie entspricht. Betrachten Sie nun ein klassisches System in a$n$dimensionaler allgemeiner Koordinatenraum, der von der Lagrange-Funktion beschrieben wird$L(q,\dot{q})$, Wo$q=(q_1,...,q_n)$Und$\dot{q}=(\dot{q_1},...,\dot{q_n})$sind allgemeine Koordinaten bzw. allgemeine Geschwindigkeiten. Wenn das System hat$SO(n)$räumliche Rotationssymmetrie, z$\forall A\in SO(n),L(Aq^T,A\dot{q}^T)=L(q,\dot{q})$, dann können wir bekommen$\frac{n(n-1)}{2}$(Anzahl der Generatoren der Gruppe$SO(n)$) erhaltener Drehimpuls.

Meine Frage ist wie folgt , jetzt beachten Sie, dass unsere räumliche Dimension ist$n$, Wenn$n=3\rightarrow$Zahl des Drehimpulses$(\frac{n(n-1)}{2})$$=$räumliche Dimension$(n)$$=$3, sonst Drehimpulszahl$\neq$räumliche Dimension, warum also ist die räumliche Dimension 3 so besonders? Gibt es einen tieferen Grund für Nummer 3 oder ist es nur ein zufälliges Ereignis? Oder hat dieses Phänomen gar etwas damit zu tun, dass wir in einer 3D-Welt „leben“?

Q2: In der Quantenmechanik (QM) ein hermitescher Operator$J=(J_x,J_y,J_z)$heißt Drehimpuls gff$[J_x,J_y]=iJ_z,[J_y,J_z]=iJ_x,[J_z,J_x]=iJ_y$.

Und meine Frage lautet wie folgt : In QM können wir einen 1-Komponenten-Impulsoperator haben$\hat{p}$, oder 2-Komponenten-Impulsoperator$(\hat{p_x},\hat{p_y})$, usw. Aber warum ist uns noch nie ein Drehimpuls mit nur zwei Komponenten begegnet$J=(J_x,J_y)$? Können wir einen 2-Komponenten-Drehimpuls definieren? Wie im CM- Fall ist die Zahl 3 auch im QM- Fall etwas Besonderes, warum?

Vielen Dank im Voraus.

Übrigens: Weitere Fragen zur Definition von Rotationsgruppen für den Drehimpuls finden sich hier , wer Interesse hat, darf mal reinschauen, danke.