Ist Drehimpuls wirklich fundamental?

Hinweis Wie David betonte, ist es besser, zwischen allgemeinem Drehimpuls und Bahndrehimpuls zu unterscheiden . Das erste Konzept ist allgemeiner und beinhaltet Spin, während das zweite (wie der Name schon sagt) nur eine Umlaufbahn ist. Es gibt auch das Konzept des Gesamtdrehimpulses , der die Größe ist, die in Systemen mit Rotationssymmetrie wirklich erhalten bleibt. Aber ohne Spin fällt er mit dem Bahndrehimpuls zusammen . Dies ist die Situation, die ich im ersten Absatz analysiere.

Drehimpuls ist grundlegend. Wieso den? Der Satz von Noether sagt uns, dass die Symmetrie des Systems (in diesem Fall der Raumzeit) zur Erhaltung einer bestimmten Größe führt (Impuls für die Translation, Bahndrehimpuls für die Rotation). Nun, der euklidische Raum ist in kompatibler Weise sowohl translations- als auch rotationsinvariant, sodass diese Konzepte verwandt sind und es den Anschein haben kann, dass Sie eines vom anderen ableiten können. Aber es könnte eine Raumzeit geben, die translations-, aber nicht rotationsinvariant ist und umgekehrt. In einer solchen Raumzeit würde man keinen Zusammenhang zwischen Bahndrehimpuls und Impuls bekommen.

Nun, um den Spin anzusprechen. Wiederum ist es das Ergebnis einer gewissen Symmetrie. Aber in diesem Fall entsteht die Symmetrie aufgrund von Wigners Entsprechung zwischen Teilchen und irreduziblen Darstellungen der Poincaré-Gruppe , die die Symmetriegruppe der Minkowski-Raumzeit ist . Diese Korrespondenz sagt uns, dass massive Teilchen nach ihrer Masse und ihrem Spin klassifiziert werden. Aber Spin ist nicht Bahndrehimpuls! Der Spin entspricht der Gruppe$Spin(3) \cong SU(2)$das ist eine doppelte Abdeckung von$SO(3)$(Rotationssymmetrie des dreidimensionalen euklidischen Raums). Das ist also ein ganz anderes Konzept, das nur oberflächlich ähnlich ist und nicht wirklich direkt mit dem Bahndrehimpuls verglichen werden kann. Eine Möglichkeit, dies zu sehen, besteht darin, dass der Spin eine halbe ganze Zahl sein kann, der Bahndrehimpuls jedoch immer eine ganze Zahl sein muss.

Also zusammenfassend:

• Der Bahndrehimpuls ist ein klassisches Konzept, das in jeder Raumzeit mit Rotationssymmetrie auftritt.
• Spin ist ein Konzept, das aus der Quantenfeldtheorie stammt, die auf der Minkowski-Raumzeit aufbaut. Dasselbe Konzept funktioniert auch für die klassische Feldtheorie, aber dort haben wir keine klare Entsprechung zu Teilchen, also habe ich diesen Fall weggelassen.

Ergänzung für Neugierige

Wie Eric betont hat, gibt es mehr als nur eine oberflächliche Ähnlichkeit zwischen Bahndrehimpuls und Spin. Um den Zusammenhang zu veranschaulichen, ist es nützlich, die Frage zu betrachten, wie sich die Eigenschaften von Teilchen bei Koordinatenänderungen ändern (denken Sie daran, dass die Erhaltung des Gesamtdrehimpulses aufgrund der Invarianz gegenüber der Koordinatenänderung entsteht, die der Rotation entspricht). Lassen Sie uns etwas allgemeiner vorgehen und eine beliebige Transformation betrachten$\Lambda$aus der Lorentzgruppe. Lassen Sie uns ein Feld haben$V^a(x^{\mu})$die in Matrixdarstellung transformiert${S^a}_b (\Lambda)$der Lorentzgruppe. Dank Wigner wissen wir, dass dies einem Teilchen entspricht; zB könnte es Skalar (wie Higgs), Bispinor (wie Elektron) oder Vektor (wie Z-Boson) sein. Seine Transformationseigenschaften unter dem Element${\Lambda^{\mu}}_{\nu}$werden dann bestimmt durch (unter Verwendung der Einstein-Summierungskonvention)

Daraus kann man zumindest intuitiv den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften der Raumzeit ($\Lambda$) und das Teilchen ($S$). Um auf die Ausgangsfrage zurückzukommen:$\Lambda$enthält Informationen über den Bahndrehimpuls und$S$enthält Informationen über den Spin. Die beiden sind also miteinander verbunden, aber nicht auf triviale Weise. Insbesondere halte ich es nicht für sehr sinnvoll, sich den Spin als das eigentliche Drehen des Teilchens vorzustellen (entgegen der Terminologie). Aber natürlich steht es jedem frei, sich vorzustellen, was ihm dabei hilft, die Theorie besser zu verstehen.

In der klassischen Mechanik leitet sich der Drehimpuls fast immer vom Impuls ab. Das könnte tatsächlich das Problem sein, denn es geht auch umgekehrt: Der Impuls ist ein Grenzfall des Drehimpulses, bei dem der Rotationsradius unendlich wird. In dieser Ansicht verschwindet die Trennung zwischen rotatorisch und linear – das neue Konzept, das eingeführt wird, lautet: unendlich .

Das ist keine neue Idee von mir, sondern seit dem 19. Jahrhundert etabliert. Durch die Verwendung von projektiver Geometrie kann man lineare und winklige Kinematik und Dynamik in einem Rahmen integrieren (dh eine Translation ist eine Drehung um eine unendliche Achse; ein reines Moment ist eine Kraft entlang einer unendlichen Wirkungslinie). Schlüsselwörter: Felix Klein, lineare Komplexe.

Ein weiteres Problem ist der Eigendrehimpuls. Ich könnte sagen: Studiere die Grundlagen, die Prinzipien und die Mathematik, und irgendwann bekommst du ein ganzheitliches Bild, aber das glaube ich nicht. Ich denke, wir brauchen eine Art geometrisches Elektronenmodell, das es uns erlaubt, den Eigendrehimpuls abzubilden.

ob man ein ähnliches Konzept "fundamental" nennt, ist Geschmackssache - und die Behauptung nur ein sinnloser emotionaler Slogan. Der Drehimpuls ist sicherlich eine wichtige Größe, die in einem sehr genau definierten Sinne genauso wichtig ist wie der Normalimpuls. Übrigens sind beide erhalten, wenn die physikalischen Gesetze bezüglich Translationen bzw. Rotationen symmetrisch sind.

Die eigentliche Frage ist also, warum der Spin in der Quantenmechanik nicht auf die Bahnbewegung reduziert werden kann - also auf die "lineare Bewegung" und den gewöhnlichen "Impuls". Das liegt daran, dass die Objekte in der Quantenmechanik nicht nur durch ihre Form im Raum, sondern durch Wellenfunktionen beschrieben werden, und man kann sagen, dass sich Wellenfunktionen unter Drehungen nicht trivial (in etwas anderes) verwandeln.

Insbesondere wenn die Wellenfunktion (oder ein Feld) ein Vektor oder ein Tensor oder am typischsten ein Spinor ist, bedeutet dies, dass in einem anderen Koordinatensystem die Werte der Komponenten der Wellenfunktion unterschiedlich sind. Dies ist sogar dann möglich, wenn die Wellenfunktion (oder das Feld) vollständig an einem Punkt lokalisiert ist, dh nichts "kreisförmig" rotiert.

Der Drehimpuls ist definiert durch die Änderung der Phase der Wellenfunktion bei Drehungen, die aus der räumlichen Abhängigkeit der Wellenfunktion, aber auch aus den möglichen Transformationen der Komponenten der Wellenfunktion untereinander stammen können auch wenn alles an einem Punkt lokalisiert ist. So können auch punktförmige Objekte in der Quantenmechanik einen Drehimpuls tragen, den Spin.

Beachten Sie, dass der Spin ein Vielfaches von ist$\hbar/2$und$\hbar$im klassischen Limes zu Null geschickt wird, so wird im klassischen Limes der Spin als innerer Drehimpuls Null und verschwindet sowieso.

Eine weitere Neuerung des Spins ist, dass er im Gegensatz zum Drehimpuls halbzahlig sein darf, nicht nur ein Vielfaches davon$\hbar$: Auch$\hbar/2$ist möglich. Das liegt daran, dass sich die Wellenfunktionen (und -felder) in Spinoren verwandeln können, die das Vorzeichen ändern, wenn sie um 360 Grad gedreht werden. Nur eine Drehung um 720 Grad ist topologisch nicht von "keine Drehung" zu unterscheiden, daher müssen Wellenfunktionen bei einer Drehung um 720 Grad auf ihre ursprünglichen Werte zurückkehren. Aber Fermionen ändern ihr Vorzeichen bei Drehungen um 360 Grad, was ihrem halbzahligen Spin entspricht.

Wenn das Wort "fundamental" bedeutet, dass es nicht auf andere Dinge wie eine klassische Intuition über Bewegung und Rotation reduziert werden kann, dann stellen Sie sicher, dass der Spin verdammt fundamental ist, ähnlich wie der Rest der Quantenmechanik.

Beste Grüße Lubos

In der klassischen Mechanik ändern sich die grundlegenden Entitäten entsprechend dem Rahmen, für den Sie sich entscheiden. Wenn Sie klassische Newtonsche Mechanik betreiben, würde ich sagen, dass die grundlegenden Entitäten Positionen und Geschwindigkeiten sind. Alle anderen lassen sich daraus ableiten und die Dynamik der Teilchen wird durch deren Funktionen beschrieben (Kräfte sind Funktionen von Zeit, Ort und Geschwindigkeit).

Aber wenn Sie zur Hamilton-Mechanik gehen, dann werden Positionen und Impulse grundlegend. Und der Hamilton-Operator kann als Funktion dieser und möglicherweise der Zeit ausgedrückt werden.

Offensichtlich ist der Drehimpuls in der klassischen Mechanik immer eine abgeleitete Größe, denn es ist immer ein Bahndrehimpuls, niemals ein Eigendrehimpuls. Selbst wenn Sie ein Objekt haben, das sich um seine eigene Achse dreht, kann dies so verstanden werden, dass die Partikel, aus denen das Objekt besteht, eine Kreisbewegung ausführen. Natürlich kann man Hamiltonoperatoren schreiben, die vom Drehimpuls des Kreisels abhängen, aber das sind Beschreibungen auf höherer Ebene, der Kreiseldrehimpuls könnte im Prinzip immer noch in die Bahndrehimpulse seiner Bestandteile zerlegt werden. Dies wäre natürlich kein sehr praktischer Ansatz zur Problemlösung.

Daher ist ein grundlegender Eigendrehimpuls, wie Sie sagen, ein Novum in der Quantenmechanik. Die Art und Weise, wie es in die Gleichungen eingeht, ist normalerweise die Mehrdeutigkeit der Wellenfunktion. Angenommen, ein Spin-1/2-Teilchen muss durch zwei unabhängige Komponentenwellenfunktionen beschrieben werden (es könnte mehr Komponenten geben, aber diese wären nicht unabhängig). Ich kenne keine Möglichkeit, dies zu umgehen. Dies ist eine grundlegende Tatsache, wie die Natur funktioniert, und sie hängt mit den Darstellungen der Symmetriegruppe der Raumzeit zusammen.

Da die Symmetriegruppe der Raumzeit in der Quanten- und in der klassischen Physik grundsätzlich dieselbe ist, sehe ich jedoch nicht ein, warum es in der klassischen Mechanik nicht möglich sein sollte, Teilchen mit Eigenimpulsen zu beschreiben. Ich halte das grundsätzlich für möglich. Die Frage ist, ist es nützlich? Da alle unsere Elementarteilchen auf der Quantenebene beschrieben werden müssen, was nützt eine klassische Teilchentheorie mit Eigenimpulsen? Außer in dem Sinne, Probleme wie die Spitze durch Vereinfachung oder so anzugehen?

EDIT: Tatsächlich haben klassische Feldtheorien Spin. Denken Sie zum Beispiel an die Maxwell-Gleichungen.

Ein Hinweis auf die besondere Rolle des Drehimpulses ergibt sich, wenn man nach seiner konjugierten Variablen sucht. Es ist eine Winkelposition, die adimensional ist . Und dann haben Sie, dass jedes Produkt einer Variablen multipliziert mit ihrer Konjugierten Aktionseinheiten hat, die dieselben Einheiten wie der Drehimpuls sind. Die klassische Mechanik sagt uns also bereits, dass etwas vor sich geht. (Vormerkung: dass Sie beim Skalarprodukt und beim Kreuzprodukt die gleichen Einheiten haben können und die physikalische Bedeutung unterschiedlich ist. Wenn Sie die Broschüren deutscher Auto- und Motorenhersteller gelesen haben, ist Ihnen vielleicht die Einheit "Nm" aufgefallen, Newton mal Meter , und die Einheit "Joule", anders verwendet.)

Es gibt eine sehr einfache und prägnante halbklassische Erklärung des Spin-Drehimpulses des Elektrons, ohne den Begriff der Rotation eines materiellen Objekts: Qualitativ gesehen ist der Spin-Drehimpuls des Elektrons der Drehimpuls des elektromagnetischen Felds, das aus dem kombinierten elektromagnetischen Feld resultiert, das einen umgibt Elektron nur so, dass ein Poynting-Vektor ungleich Null entsteht, der um die Dipolachse des Elektrons kreist, was auch bedeutet, dass ein permanenter elektromagnetischer Energiefluss um die Dipolachse des Elektrons kreist. Die relativistische Elektrodynamik zeigt, dass jede Art von Energiefluss mit einem Impulsfluss (parallel zum Poynting-Vektor) verbunden ist, der an sich mit einem Drehimpuls relativ zu einem bestimmten Bezugspunkt oder einer Bezugsachse verbunden sein kann. Daher ist die Energiezirkulation um die Dipolachse des Elektrons gleichbedeutend mit der Impulszirkulation. Wenn es über den gesamten Raum um ein Elektron herum integriert wird, ist das Ergebnis, dass ein wesentlicher Bruchteil, wenn nicht der gesamte Drehimpuls eines Elektrons in diesem Raum verteilt wird. (Siehe zB Feynman Vol. II)

Eine quantitative Abschätzung des elektromagnetischen Drehimpulses eines Elektrons findet sich in:
SM Blinder: Singularity-free electrodynamics for point charges and dipoles: a classic model for electron self-energy and spin, Eur. J. Phys. 24 (2003) 271–275 (Arxiv- Vorabdruck ).

Lubosh schrieb: „Der Drehimpuls ist definiert durch die Änderung der Phase der Wellenfunktion unter Drehungen, die aus der Abhängigkeit der Wellenfunktion vom Raum, aber auch aus den Transformationen der Komponenten der Wellenfunktion untereinander herrühren können , was sogar möglich ist, wenn alles an einem Punkt lokalisiert ist. So können auch punktförmige Objekte in der Quantenmechanik einen Drehimpuls tragen, den Spin.“

In QM ist es unmöglich und nicht notwendig, R = 0 (siehe meinen Blog) aufzuerlegen, um ein System in Ruhe zu haben. Im Gegenteil, man muss P = 0 setzen. Es bedeutet nicht Punktähnlichkeit, sondern Ubiquität .

Es gibt einen Artikel von R. Ohanian über Spin . Aber ich fürchte, es ist letztendlich eine Tautologie oder so.

Ich denke, der Drehimpuls ist grundlegend. Ich denke, dass selbst in der Klassischen Mechanik eine Beschreibung von irgendetwas mit Hilfe von nur drei Koordinaten R (t) zu primitiv ist. Generell ist alles nicht punktförmig und rotiert, grob gesagt. Der Eigendrehimpuls J ist also genauso grundlegend wie der lineare Impuls P (sowie Farbe, Ladung und Geschmack ;-).

Was Spin und ausgedehnte Teilchen betrifft, würde ich das Gegenteil sagen: Es widerspricht nicht der Intuition, dass Punktteilchen einen gewissen Eigendrehimpuls haben, weil ein Punkt so aussieht, als hätte er eine gewisse Rotationsinvarianz eingebaut. Das Überraschende ist, dass ausgedehnte Objekte diesen Drehimpuls haben, ohne einen Punkt, an dem die Rotationssymmetrie einschwenken kann.

Es steckt mehr dahinter, als dass der Spin ein intrinsischer Drehimpuls ist. Ein Elektron hat einen "inneren Freiheitsgrad" - linkshändig oder rechtshändig zu sein, und es kann Punkt A mit RH-Spin verlassen und B mit LH-Spin erreichen. Pauli braucht also zwei komplexe Komponenten in seiner Gleichung. (im Gegensatz zu einem Photon, das mit dem gleichen Spin ankommt, obwohl es auch LH und RH hat, also keinen inneren Freiheitsgrad hat). Dies unterscheidet sich vom Spin-Vektor, der eine Richtung im Raum definiert. Die Zweiwertigkeit ergibt sich aus der Rotation um einen Bivektor, der entlang der Rotationsachse nach oben oder unten zeigen kann. Man kann räumliche Rotationen in beiden Richtungen durchführen – und Elektronen scheinen den Unterschied zu machen – als ob es zwei Arten gäbe, aber alles andere hat die gleiche Masse und Ladung, also sagen wir, es ist das gleiche Teilchen mit entgegengesetztem Spin. Es scheint also, dass es keine notwendige Verbindung zur Relativitätstheorie (außer der Festlegung des Thomas-Faktors in der Pauli-Gleichung) oder zur QFT gibt. Hamilton hatte die Algebra, um die klassische Unterscheidung zwischen links und rechts zu machen – sie ist in die Quaternion-Algebra eingebaut, aber er sah sie nicht als eine mechanische Eigenschaft von Teilchen – aber zum Teufel, er sah auch nicht die Maxwell-Gleichung.

Das Vorhandensein eines Spins eines Teilchens ist natürlich ein Hinweis darauf, dass das Teilchen tatsächlich aus räumlich getrennten Teilen besteht. Dies bedeutet jedoch nicht, dass das Teilchen aus anderen Teilchen zusammengesetzt ist.

Zum Beispiel ist derzeit bekannt, dass zumindest ein Teil des Spins des Elektrons tatsächlich der Bahnimpuls der Quanten-Vakuumfluktuationen ist, die durch den Kern des Elektrons in Rotation versetzt werden. Dieser Teil ist als anomaler Drehimpuls des Elektrons bekannt.

Ein weiteres Beispiel sind Photonen, bei denen der Spin als eine Ordnung erklärt werden kann, in der die in elektrischen und magnetischen Feldern enthaltene Energie um die Achse rotiert, die entlang der Ausbreitungsrichtung des Photons liegt.