In der Quantenfeldtheorie – besonders wenn sie auf die Hochenergiephysik angewendet wird – sehen wir, dass die Anforderungen der Lorentz-Invarianz, Eich-Invarianz und Renormierbarkeit die Arten von Wechselwirkungen, die auf der Lagrange-Funktion auftreten können, stark einschränken. In anderen Kontexten als der Hochenergiephysik jedoch – sagen wir der Physik der kondensierten Materie oder sogar der nichtrelativistischen Quantenmechanik – behandeln wir den Wechselwirkungsterm (im Wesentlichen das Potential in der Quantenmechanik) als praktisch beliebig. Ich würde gerne wissen, wie dieses symmetriebrechende "Phänomen" zustande kommt, dh wie man von einer fundamentalen Theorie ausgehen kann, die all diese Beschränkungen für die Arten von Wechselwirkungen besitzt, die auftreten können, und am Ende eine praktisch unendliche Freiheit für die "effektive" Theorie bei niedrigen Energien und niedrigen Drehzahlen. Wenn es dazu Literatur gibt, würde ich mich sehr darüber freuen.
Ich beginne mit einigen Hintergrundinformationen und versuche dann, Ihre Frage zu beantworten.
Betrachten Sie als Beispiel die Quantenelektrodynamik (QED) in der vierdimensionalen Raumzeit. Der einzige bekannte mathematisch legitime Weg, dieses Modell zu konstruieren, besteht darin, kontinuierliche Raumzeit (oder zumindest Raum) durch ein diskretes Gitter zu ersetzen. Die Verwendung eines diskreten Gitters stimmt nicht streng mit der Lorentz-Invarianz überein, aber wir können die Gitterskala so wählen, dass sie viel feiner ist als jede experimentell auflösbare Skala. Dann können die experimentell zugänglichen Vorhersagen des Modells durch Einstellen der Koeffizienten im Lagrange- (oder Hamilton-Operator) rotations- oder Lorentz-invariant gemacht werden, soweit dies in jedem praktischen Experiment möglich ist. Dies wäre kein zufriedenstellender Weg, um eine grundlegende Theorie von allem zu formulieren, aber QED ist keine Theorie von allem. Sein Anwendungsbereich ist bereits begrenzt, auch ohne das Artefakt eines diskreten Gitters,
Der Schlüssel zu dieser Arbeit liegt in der geeigneten Abstimmung der Koeffizienten in der Lagrange-Funktion. Wenn wir den Maßstab des Gitters ändern (d. h. den Abstand zwischen benachbarten Stellen im Gitter), müssen wir die Koeffizienten neu abstimmen, um die Vorhersagen mit niedriger Auflösung des Modells unverändert zu lassen. ("Niedrige Auflösung" wird mit der Gitterskala verglichen.) Dies ist eine Renormierung. Dies ist möglich, solange wir den Gitterabstand nicht zu klein machen. Wenn wir es auch schaffenklein, dann kommen wir vermutlich an einen Punkt, wo die geforderten Werte der Koeffizienten in der Lagrange-Funktion divergieren. Das meinen die Leute, wenn sie sagen „QED existiert nicht“. Was sie wirklich meinen, ist, dass QED selbst (ohne zusätzliche Felder) keine strikte Kontinuumsgrenze hat, in der Elektronen und Photonen noch miteinander interagieren. Es gibt jedoch einen breiten Bereich von Gitterabständen, die viel feiner sind als die feinste experimentell auflösbare Skala, aber immer noch sicher gröber als die Landau-Pol-Skala, und jedes solche Gitter kann verwendet werden, um QED zu definieren.
Jetzt fange ich an, Ihre Frage zu beantworten. Wir könnten dieselben Vorhersagen mit niedriger Auflösung unter Verwendung einer Lagrange-Funktion mit viel mehr Termen als nur den üblichen "renormalisierbaren" Termen reproduzieren, selbst wenn wir nur eichinvariante Terme verwenden, die aus den üblichen Feldern der QED erstellt werden. Es gibt unendlich viele solcher Terme, und wir können sie verwenden, um unendlich viele verschiedene Lagrange-Operatoren zu erstellen, deren Vorhersagen bei ausreichend niedriger Auflösung nicht voneinander zu unterscheiden sind. Dies wird „Universalität“ genannt. Unter diesen unendlich vielen verschiedenen Optionen gibt es eine Option, die nur die üblichen renormalisierbaren Terme verwendet, die, wie Sie bereits betont haben, nur wenige sind. Wir sind nicht wirklich darauf beschränkt, nur diese renormierbaren Wechselwirkungen bei der Konstruktion des Modells zu verwenden,Verwenden Sie nur diese Begriffe, solange die Experimente auf eine ausreichend niedrige Auflösung im Vergleich zur Gitterskala beschränkt sind.
Nehmen wir nun an, wir wollen nur Situationen betrachten, in denen sich alle Elektronen viel langsamer als mit Lichtgeschwindigkeit bewegen. (Ich denke hier an die einfachste Version von QED, bei der das Elektronenfeld und das elektromagnetische Feld die einzigen beiden Felder sind.) Mit anderen Worten, wir wollen nur Situationen betrachten, in denen alle Elektronen Energien haben, die viel niedriger sind als die Masse eines Elektrons. Wir könnten die Lorentz-symmetrische Version von QED verwenden, um diese Situationen anzugehen, aber wir haben auch die Möglichkeit, ein anderes Modell zu verwenden, in das die nicht-relativistische Näherung eingebaut ist. Wir können dieses Modell nicht-relativistische QED (NRQED) nennen. Oder, wenn wir dynamische elektromagnetische Effekte wie Photonen nicht berücksichtigen müssen, dann können wir sogar die nicht-relativistische Quantenmechanik verwenden. In jedem Fall können wir so etwas wie "Universalität" erwarten.solange wir nur Vorhersagen mit Energien berücksichtigen, die im Vergleich zur Masse des Elektrons ausreichend niedrig sind , was die Skala ist, die wir verwenden, um die "nicht-relativistische" Näherung zu definieren. Wie im relativistischen Fall, wo der künstliche Gitterabstand die Referenzskala war, gibt es unendlich viele verschiedene nicht-relativistische Modelle, die alle die gleichen Vorhersagen bei ausreichend niedriger Energie im Vergleich zur Masse des Elektrons machen. Unter diesen Modellen können wir dasjenige auswählen, das die wenigsten und einfachsten Terme verwendet, genau wie wir es normalerweise in der relativistischen QED tun.
Ein ähnlicher Kommentar gilt in Bezug auf die Physik der kondensierten Materie. In diesem Fall führen wir nur manchmal Experimente in der Nähe eines "kritischen Punkts" durch, an dem die Korrelationslänge viel größer wird als der Abstand zwischen dem Gitter von Atomen oder Molekülen, aus denen das Material besteht. Dies tritt beispielsweise in der Nähe des Phasenübergangs zwischen den magnetisierten und unmagnetisierten Phasen eines ferromagnetischen Materials auf. Unter diesen Umständen können wir tatsächlich mit einem Modell auskommen, das nur aus wenigen relativ einfachen Termen aufgebaut ist, und diese Terme werden wiederum als renormierbar bezeichnet. Dies ist analog zur Situation in der relativistischen QED, außer dass (1) die Modelle unter Verwendung unterschiedlicher Felder und mit unterschiedlichen Symmetrieanforderungen erstellt werden und (2) im Fall der relativistischen QED dies immer der Fall istauf Skalen beschränkt, die weit gröber als die (künstliche) Gitterskala sind, aber wir sind nicht auf Skalen beschränkt, die viel gröber sind als die atomare Skala (die das Analogon der verdichteten Materie zur Gitterskala ist) oder auf Energien weit unterhalb der Elektronenmasse (was nichtrelativistische QMs wären). Analogon der Gitterskala in der vorliegenden Analogie).
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass der Hauptunterschied zwischen der relativistischen QED und der nichtrelativistischen Quantenmechanik in Bezug auf Ihre Frage darin besteht, dass wir in der relativistischen QED immer auf Skalen arbeiten, die weit unter der künstlichen Gitterskala liegen, auf der das Modell definiert ist, sodass wir immer durchkommen können mit nur wenigen relativ einfachen Termen in der Konstruktion des Modells, nämlich den "renormierbaren" Termen. Aber in nichtrelativistischen Anwendungen arbeiten wir nur manchmal mit Energien, die weit genug unter der Masse des Elektrons liegen, um mit nur wenigen relativ einfachen Termen in der Modellkonstruktion auszukommen.
Hier sind ein paar Referenzen, die diese Punkte genauer ansprechen:
Dieser nicht einführende Artikel untersucht ein Modell, das einfacher als QED ist, aber bei ausreichend niedriger Auflösung immer noch Lorentz-symmetrisch ist: Polchinski (1984), "Renormalization and Effective Lagrangians", Nuclear Physics B 231: 269-295, http : // max2.physics.sunysb.edu/~rastelli/2016/Polchinski.pdf , aufgerufen am 14.10.2018.
Dieser einleitende Artikel untersucht die gleiche Idee in einem kondensierten Materiekontext: Polchinski (1992), „Effective Field Theory and the Fermi Surface“, https://arxiv.org/abs/hep-th/9210046 .
Dieser pädagogische Artikel erklärt, wie dieselbe Idee in NRQED funktioniert: Lepage (1989), "What is renormalization?" Boulder ASI, Seiten 483-508, https://arxiv.org/abs/hep-ph/0506330 .
Hoffe das hilft!
Einige Zeit nachdem ich hier meine Antwort gepostet habe, bin ich auf diesen Beitrag gestoßen: Bricht QED wirklich am Landau-Pol zusammen? Dieser Beitrag enthält eine interessante Diskussion darüber, was schief geht, wenn wir versuchen, eine strikte Kontinuumsgrenze in QED zu nehmen.
anna v