Diagonalisieren des Hamilton-Operators, der in Bose-Feldoperatoren linear ist

In gemeinen Feldtheorien bin ich oft auf Hamiltonianer der Form gestoßen

H = ω A † + ω ∗ A + ϵ 0
Wo A Und A † sind die regulären Bose-Feldoperatoren und ϵ 0 ist ein konstanter Energieausgleich. Gibt es eine einfache Möglichkeit, Hamiltonianer dieser Form zu diagonalisieren? Ich habe versucht, danach zu suchen, und habe keine Methoden zum Diagonalisieren von Einzelfeldoperatoren gefunden.

Antworten (1)

Verwenden Sie die direkte Darstellung von A Und A † :

A | N ⟩ = N | N − 1 ⟩ ,
A † | N ⟩ = N + 1 | N + 1 ⟩ .

Wende die Eigenwertgleichung an H | Ψ ⟩ = E | Ψ ⟩ in einen willkürlichen Zustand

| Ψ ⟩ = ∑ N Ψ N | N ⟩ .

Sie erhalten die folgende wiederkehrende Beziehung:

( E − ϵ 0 ) Ψ N = ω N Ψ N − 1 + ω ∗ N + 1 Ψ N + 1 .

Dies ist linear in Ψ für alle N , also entweder Ψ 0 ≠ 0 , oder der Gesamtzustand ist einfach Null (was nach den Grundsätzen der QM natürlich nicht erlaubt ist). Es spielt keine Rolle, welcher Wert von Ψ 0 Sie wählen, es wirkt sich nur auf die Gesamtnormalisierung aus.

Wählen Sie also eine beliebige Ψ 0 und erholen Sie den Rest aus der wiederkehrenden Beziehung.

Bonusfragen: Sind Ihre Eigenzustände normalisierbar? Was bedeutet es mathematisch und physikalisch?

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