Warum stellt diese Bedingung sicher, dass das Residuum des Propagators 1 ist?

Question

Warum stellt diese Bedingung sicher, dass das Residuum des Propagators 1 ist?

Ryan Unger

Der korrigierte Propagator ist gegeben durch

Δ^{'} (Q) = \frac{1}{Q^{2} + M^{2} - Π^{*} (Q^{2}) - ich ϵ}

$\Delta'(q)=\frac{1}{q^2+m^2-\Pi^*(q^2)-i\epsilon}$ (

Π^{*}

$\Pi^*$ die Summe aller irreduziblen Ein-Teilchen-Amplituden ist) erhalte ich den Rest des ursprünglichen Propagators um den Pol

q^{2} = - m^{2}

$q^2=-m^2$ Ist

\frac{1}{2 π ich} \oint_{um Q^{2} = - M^{2}} \frac{D Q^{2}}{Q^{2} + M^{2} - ich ϵ} = lim_{Q^{2} \to - M^{2}} \frac{Q^{2} + M^{2}}{Q^{2} + M^{2}} = 1

$\frac{1}{2\pi i}\oint_{\text{around }q^2=-m^2} \frac{dq^2}{q^2+m^2-i\epsilon}=\lim_{q^2\rightarrow -m^2}\frac{q^2+m^2}{q^2+m^2}=1$ und dass der korrigierte Propagator denselben Rest haben muss

\frac{1}{2 π ich} \oint Δ^{'} (Q) D Q^{2} = 1

$\frac{1}{2\pi i}\oint \Delta'(q)dq^2=1$ Also wie sieht der Zustand aus

{[\frac{D Π^{*} (Q^{2})}{D Q^{2}}]}_{Q^{2} = - M^{2}} = 0

$\left[\frac{d\Pi^*(q^2)}{dq^2}\right]_{q^2=-m^2}=0$ das zweite Integral oben sicherstellen?

EDIT: Verschlingt komplexe Analyseliteratur. Habe schon einige Dinge bearbeitet, die nicht ganz richtig waren. Für alle Interessierten verwende ich Weinberg Vol. 1 und dies in Abschnitt 10.3, ~p. 430.

ZweiBs

Sie wissen, dass der Nenner bei der Polmasse verschwindet. Erweitern Sie einfach den Nenner um diesen Punkt herum, und dann erhalten Sie Ihre Bedingung für die Residuen, indem Sie die Grenze wie im ungestörten Propagator nehmen.

Ryan Unger

Bedeutet dies auch, dass alle höheren Ableitungen von

Π^{*}

$\Pi^*$ auch an der Massenhülle verschwinden? Der erste Term in der Taylor-Reihe des Nenners ist offensichtlich 0. Der zweite Term ist

[1 - d Π^{*} / d q^{2}]_{- m^{2}} (q^{2} + m^{2})

$[1-d\Pi^*/dq^2]_{-m^2}(q^2+m^2)$ . Das Integrieren führt natürlich zu der gewünschten Bedingung, aber wie kann ich sicher sein, dass die Reihe nach der ersten Ordnung endet

q^{2}

$q^2$ Derivat?

ZweiBs

Die Terme höherer Ordnung in den Erweiterungen verschwinden schneller als die

q^{2} + m^{2}

$q^2+m^2$ Laufzeit und tragen daher nicht zur Begrenzung bei. Nimm einfach die Grenze.

Ryan Unger

Ja Danke. Es ist im Wesentlichen ein Fall von L'Hospitals Herrschaft.

David z

Ich werde bemerken, dass dies bereits an anderer Stelle beantwortet wurde: reddit.com/r/Physics/comments/2gigu8/… (und übrigens 0celo7, die Tatsache, dass hier und da fast derselbe Text gepostet wird, kann einen Verstoß gegen unsere Plagiatsrichtlinie darstellen. .. ich werde dem nachgehen)

Ryan Unger

Wenn ich also keine Antworten auf Reddit bekomme und mich entscheide, hier neu zu posten, ist das ein Plagiat? Lol. Die identischen Benutzernamen sind mehr als ein Zufall.

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Warum stellt diese Bedingung sicher, dass das Residuum des Propagators 1 ist?

Sie wissen, dass der Nenner bei der Polmasse verschwindet. Erweitern Sie einfach den Nenner um diesen Punkt herum, und dann erhalten Sie Ihre Bedingung für die Residuen, indem Sie die Grenze wie im ungestörten Propagator nehmen.
Bedeutet dies auch, dass alle höheren Ableitungen von $\Pi^*$ auch an der Massenhülle verschwinden? Der erste Term in der Taylor-Reihe des Nenners ist offensichtlich 0. Der zweite Term ist $[1-d\Pi^*/dq^2]_{-m^2}(q^2+m^2)$ . Das Integrieren führt natürlich zu der gewünschten Bedingung, aber wie kann ich sicher sein, dass die Reihe nach der ersten Ordnung endet $q^2$ Derivat?
Die Terme höherer Ordnung in den Erweiterungen verschwinden schneller als die $q^2+m^2$ Laufzeit und tragen daher nicht zur Begrenzung bei. Nimm einfach die Grenze.
Ja Danke. Es ist im Wesentlichen ein Fall von L'Hospitals Herrschaft.
Ich werde bemerken, dass dies bereits an anderer Stelle beantwortet wurde: reddit.com/r/Physics/comments/2gigu8/… (und übrigens 0celo7, die Tatsache, dass hier und da fast derselbe Text gepostet wird, kann einen Verstoß gegen unsere Plagiatsrichtlinie darstellen. .. ich werde dem nachgehen)
Wenn ich also keine Antworten auf Reddit bekomme und mich entscheide, hier neu zu posten, ist das ein Plagiat? Lol. Die identischen Benutzernamen sind mehr als ein Zufall.

Ryan Unger · Answer 1

Der ursprüngliche Propagator hat einen Pol an $q^2=-m^2$ , die Massenschale. Für $m=\sqrt{-q^2}$ die wahre Masse des Teilchens sein, haben wir $\Pi^*(-m^2)=0$ und fordern, dass der Rest des modifizierten Propagators um die Einheit herum ist $q^2=-m^2$ . Erinnern Sie sich an das für eine meromorphe Funktion $f(z)$ wir haben

\oint F (z) D z = 2 π ich \sum_{k} {Auflösung}_{z_{k}} (F)

$\oint f(z)dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}_{z_k}(f)$ Daher

\oint Δ^{'} (Q^{2}) D Q^{2} = 2 π ich {Auflösung}_{- M^{2}} (Δ^{'})

$\oint \Delta'(q^2)dq^2=2\pi i\operatorname{Res}_{-m^2}(\Delta')$ Beachten Sie, dass die Stange innen ist

Δ^{'}

$\Delta'$ ist einfach . So haben wir

{Auflösung}_{- M^{2}} (Δ^{'}) = lim_{Q^{2} \to - M^{2}} (Q^{2} + M^{2}) Δ^{'} (Q^{2}) = 1

$\operatorname{Res}_{-m^2}(\Delta')=\lim_{q^2\rightarrow-m^2}(q^2+m^2)\Delta'(q^2)=1$ Einfügen der Definition von

Δ^{'}

$\Delta'$ , wir bekommen

lim_{Q^{2} \to - M^{2}} \frac{(Q^{2} + M^{2})}{Q^{2} + M^{2} - Π^{*} - ich ϵ} = 1

$\lim_{q^2\rightarrow-m^2}\frac{(q^2+m^2)}{q^2+m^2-\Pi^*-i\epsilon}=1$ welches ist

0 / 0

$0/0$ links, dh unbestimmt. Unter Verwendung der Regel von L'Hopital finden wir

{\frac{D Π^{*}}{D Q^{2}} |}_{- M^{2}} = 0

$\left.\frac{d\Pi^*}{dq^2}\right|_{-m^2}=0$ wie zu zeigen war.

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Ryan Unger

ZweiBs

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ZweiBs

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