Welches Erhaltungsgesetz entspricht Lorentz-Boosts?

Achtung: Dies ist eine lange und langweilige Ableitung. Wenn Sie nur am Ergebnis interessiert sind, springen Sie zum allerletzten Satz.

Der Satz von Noether kann auf viele Arten formuliert werden. Für die Zwecke Ihrer Frage können wir bequem die spezielle relativistische Lagrange-Formulierung eines Skalarfelds verwenden. Angenommen, wir erhalten eine Aktion

$$S[\phi] = \int {\mathcal L}(\phi(x), \partial_{\mu} \phi(x), \dots) {\rm d}^4x.$$

Nehmen wir nun an, die Wirkung ist unter einer infinitesimalen Transformation unveränderlich$m: x^{\mu} \mapsto x^{\mu} + \delta x^{\mu} = x^{\mu} + \epsilon a^{\mu}$(Wir werden keine explizite Transformation der Felder selbst berücksichtigen). Dann erhalten wir einen Erhaltungsstrom

$$J^{\mu} = {\partial {\mathcal L} \over \partial \phi_{,\mu}} \phi^{,\nu} a_{\nu} - {\mathcal L} a^{\mu} = \left ({\partial {\mathcal L} \over \partial \phi_{,\mu}} \phi^{,\nu} - {\mathcal L} g^{\mu \nu} \right) a_{\nu} .$$ Wir erhalten eine Erhaltungsladung daraus, indem wir sie vermieten $Q \equiv \int J^0 {\rm d}^3x$seit von $\partial_{\mu}J^{\mu} =0$wir haben das $${\partial Q \over \partial t} = \int {\rm Div}{\mathbf J}\, {\rm d}^3 x = 0$$ was zu jeder Zeit gilt, wenn die Ströme ausreichend schnell abklingen.

Wenn die Transformation durch Übersetzung gegeben ist$m_{\nu} \leftrightarrow \delta x^{\mu} = \epsilon \delta^{\mu}_{\nu}$wir erhalten vier konservierte Ströme

$$J^{\mu \nu} = {\partial {\mathcal L} \over \partial \phi_{\mu}} \phi^{\nu} - {\mathcal L} g^{\mu \nu} .$$

Dieses Objekt ist allgemein als Spannungsenergietensor bekannt$T^{\mu \nu}$und die zugehörigen Erhaltungsströme sind als Impulse bekannt$p^{\nu}$. Außerdem ist der Erhaltungsstrom im Allgemeinen einfach gegeben durch$J^{\mu} = T^{\mu \nu} a_{\nu}$.

Für eine Lorentz-Transformation haben wir

$$m_{\sigma \tau} \leftrightarrow \delta x^{\mu} = \epsilon \left(g^{\mu \sigma} x^{\tau} - g^{\mu \tau} x^{\sigma} \right)$$ (Beachten Sie, dass dies antisymmetrisch ist und es daher nur 6 unabhängige Parameter der Transformation gibt) und daher sind die konservierten Ströme die Drehimpulsströme $$M^{\sigma \tau \mu} = x^{\tau}T^{\mu \sigma} - x^{\sigma}T^{\mu \tau}.$$ Schließlich erhalten wir den erhaltenen Drehimpuls als $$M^{\sigma \tau} = \int \left(x^{\tau}T^{0 \sigma} - x^{\sigma}T^{0 \tau} \right) {\rm d}^3 x .$$

Beachten Sie, dass wir für Teilchen etwas weiter vorgehen können, da ihre zugehörigen Impulse und Drehimpulse nicht durch ein Integral gegeben sind. Deshalb haben wir einfach das$p^{\mu} = T^{\mu 0}$Und$M^{\mu \nu} = x^{\mu} p^{\nu} - x^{\nu} p^{\mu}$. Der Rotationsteil davon (in Form des üblichen Pseudovektors geschrieben) ist

$${\mathbf L}_i = {1 \over 2}\epsilon_{ijk} M^{jk} = ({\mathbf x} \times {\mathbf p})_i$$ während wir für den Boost-Teil bekommen $$M^{0 i} = \left(t {\mathbf p} - {\mathbf x} E \right)^i$$ das ist nichts anderes als der Massenmittelpunkt bei $t=0$(Wir können frei wählen $t$da die Menge erhalten bleibt) multipliziert mit $\gamma$da wir die Beziehungen haben $E = \gamma m$, ${\mathbf p} = \gamma m {\mathbf v}$. Beachten Sie die Ähnlichkeit mit der ${\mathbf E}$, $\mathbf B$Zerlegung des elektromagnetischen Feldtensors $F^{\mu \nu}$.

Um Mareks hervorragende Antwort zu ergänzen, stelle ich unten eine alternative Herleitung bereit und gebe so viele Zwischenschritte wie möglich an.

Für eine infinitesimale Verschiebung$y^\mu=x^\mu+\xi^\mu$, ändert sich ein Skalarfeld als

$$\phi(y)=\phi(x)+\xi^\mu \partial_\mu\phi(x)+...$$

Die Verschiebung durch infinitesimale Lorentz-Transformation$\Lambda^{\mu\nu}$Ist$y^\mu=x^\mu+\Lambda^{\mu\nu}x_\nu$. In ähnlicher Weise ändert sich das Skalarfeld wie folgt:

$$\phi(y)=\phi(x)+ \Lambda^{\mu\nu}x_\nu\partial_\mu\phi(x)+...$$ Die Variation des Feldes bzgl$\Lambda^{\mu\nu}$Ist $$\frac{\delta \phi}{\delta \Lambda^{\mu\nu}}=x_\nu\partial_\mu\phi(x)-x_\mu\partial_\nu\phi(x)$$ Der Grund dafür, dass auf der rechten Seite zwei Terme stehen, ist die infinitesimale Lorentz-Transformation$\Lambda^{\mu\nu}$ist antisymmetrisch, dh$\Lambda^{\nu\mu} = -\Lambda^{\mu\nu}$, die nur 6 unabhängige Komponenten hat. (Sie können dies überprüfen, indem Sie verlangen, dass das Skalarprodukt nach der Transformation unverändert bleibt.$y^\mu y_\mu = x^\mu x_\mu$)

Verwendung des Prinzips der kleinsten Wirkung, Variation in Lagrange$\mathcal{L}$Ist

$$\frac{\delta \mathcal{L}}{\delta \Lambda^{\mu\nu}}=\sum_n\{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\phi_n} \frac{\delta\phi_n}{\delta \Lambda^{\mu\nu}} + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\mu}\phi_n)} \frac{\delta(\partial_{\mu}\phi_n)}{\delta \Lambda^{\mu\nu}} \}$$ Anwendung der Bewegungsgleichung $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi_n} -\partial_\mu\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}=0$$ wir erhalten das Erhaltungsgesetz: $$\frac{\delta \mathcal{L}}{\delta \Lambda^{\mu\nu}}=\sum_n\partial_\mu[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial_{\mu}\phi_n} \frac{\delta\phi}{\delta \Lambda^{\mu\nu}} ]$$ Ersetzen des Ausdrucks für$\delta \phi/\delta \Lambda^{\mu\nu}$und ein ähnliches für$\delta \mathcal{L}/\delta \Lambda^{\mu\nu}$, erhalten wir das endgültige Erhaltungsgesetz $$\partial_\mu j^{\mu \lambda\sigma} = 0$$ wo die konservative Strömung $$j^{\mu \lambda\sigma}=x^\lambda T^{\mu\sigma} - x^{\sigma}T^{\mu\lambda}$$ ist der Drehimpuls und $$T_{\mu\nu}= \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\partial_\nu\phi-g_{\mu\nu}\mathcal{L}$$ ist der Schwung.

Eine direkte Antwort? Es hat keinen wirklichen Namen, wurde aber in der Literatur immer in 3-Vektor-Form als geschrieben$𝐊$, neben dem Drehimpuls 3-Vektor$𝐉$.

Jedes System, elementar oder zusammengesetzt, relativistisch oder nicht-relativistisch, das ein Ruhesystem besitzt (dh ein System, in dem der Impuls$𝐏$Ist$𝟎$) und eine Schwerpunktposition,$𝐫$, kann es als "Tardyon" (oder "Bradyon") bezeichnet werden. Bei solchen Systemen zerfällt der Drehimpuls in$𝐉 = 𝐫×𝐏 + 𝐒$, Wo$𝐒$ist sein innerer Drehimpuls; dh sein Drehimpuls bezogen auf seine Massenmittelpunktsposition. Wenn das System elementar und nicht zusammengesetzt ist, wird diese Drehimpulskomponente als sein "Spin" bezeichnet. Der andere Teil,$𝐋 = 𝐫×𝐏$ist der "bahnförmige" Drehimpuls des Systems - das ist der Drehimpuls, den es aufgrund seiner Bewegung um den Ursprung hat$𝐫 = 𝟎$.

Die andere Menge zerfällt für solche Systeme als$𝐊 = M𝐫 - 𝐏t + 𝐓$. Dies hat keinen offiziellen Namen und ist (wie Sie sehen können) explizit zeitabhängig, aufgrund des Erscheinens von$t$für die Zeit. In Ermangelung eines besseren Namens kann man es wegen der Zeit- und Impulsabhängigkeit als „bewegtes Massenmoment“ bezeichnen$𝐏$.

Die Masse hier,$M$, ist selbst auch eine "bewegte" Masse. In der nicht-relativistischen Theorie ist es so$M = m$, gleich der Masse$m$des Systems in seinem eigenen Ruhesystem - seiner Ruhemasse. In der Relativitätstheorie hat es eine Abhängigkeit vom Impuls gegeben als

$$M = m \sqrt{1 + \frac{1}{c^2}\frac{P^2}{m^2}}.$$ Heutzutage ist die "Gesamtenergie"$E = Mc^2$wird normalerweise in der relativistischen Literatur anstelle der bewegten Masse verwendet$M$, aber dies verdeckt die Diskussion darüber, was$𝐊$Ist; das ist nur, dass es das Massenmoment ist, das das System gehabt hätte$t = 0$, wenn seine Position zurück projiziert wird$t = 0$indem es so behandelt wird, als hätte es sich zwischen damals und der Gegenwart mit der Geschwindigkeit bewegt$𝐯 = 𝐏/M$.

Die zusätzliche Menge$𝐓$- ein Analogon des inneren Drehimpulses - abhängig ist$𝐒$. Für nicht-relativistische Tardyons gilt:$𝐓 = 𝟎$, während in Relativitätstheorie

$$𝐓 = \frac{1}{c^2}\frac{𝐏×𝐒}{m + M} = \frac{𝐏×𝐒}{mc^2 + E}.$$ Die Tatsache, dass es nicht Null und spinabhängig ist, ist also ein rein relativistischer Effekt.

Dies kann sowohl im relativistischen als auch im nicht-relativistischen Fall gelöst werden$𝐫$in Bezug auf die kanonischen Größen$𝐉$,$𝐊$,$𝐏$Und$M$; wobei das Ergebnis die klassische Version des Newton-Wigner-Operators für den Positionsvektor des Massenmittelpunkts ist.

Für alle Systeme – Tardyons, Luxons, Tachyonen – wenn kein innerer Drehimpuls vorhanden ist – genauer: wenn$𝐖 = 𝟎$, Wo$𝐖 ≡ M𝐉 + 𝐏×𝐊$der Pauli-Lubanski 3-Vektor ist, dann erfolgt allein aufgrund dieser Tatsache eine Zerlegung in$𝐉 = 𝐫×𝐏$Und$𝐊 = M𝐫 - 𝐏t$. Sie werden also "Spin 0" genannt, was ein Missbrauch der Terminologie ist, wenn das System kein Tardyon ist.

Tachyonen gehören zu einer Klasse, die Bezugsrahmen besitzt, in denen$M = 0$, Aber$𝐏 ≠ 𝟎$- ein Rahmen mit unendlicher Geschwindigkeit. In diesem Rahmen,$Π^2 = P^2$ist das Quadrat eines Impulses, dessen Wert ist$Π = P \sqrt{1 - M^2c^2/P^2}$oder$Π = P \sqrt{1 - E^2/(Pc)^2}$. Das nicht-relativistische Äquivalent dieses Systemtyps hat keinen Namen, daher habe ich es "Synchron" genannt. Dementsprechend könnte man den unendlichen Geschwindigkeitsrahmen für ein Tachyon als "synchronen" Rahmen bezeichnen: Er erscheint darin nicht als eine sich in der Zeit bewegende Einheit, sondern nur als ein in einem Augenblick existierendes räumliches Objekt. Die nicht-relativistische Version, das „Synchron“, ist im Wesentlichen die sofortige Übertragung eines Nicht-Null-Impulses über den Raum: das „-on“ für die Dynamik der Fernwirkung.

Die Frage ist schlammig, wie$𝐉$Und$𝐊$zerlegen, außer im "Spin 0"-Fall.

Luxons haben weder einen "Synchron"-Rahmen mit unendlicher Geschwindigkeit noch einen Ruherahmen. Das kann nur passieren, wenn$P = Mc = E/c$.

Ebenso ist hier die Frage nach dem Wie unklar$𝐉$Und$𝐊$zerfallen sollte, außer im "Spin 0"-Fall. Aber diesmal gibt es auch eine marginale Ausnahme für den Fall, wo$𝐖$Und$𝐏$ausrichten, mit einem festen Verhältnis$𝐖 = η𝐏$. Auch diese Unterklasse hat keinen offiziellen Namen. Also habe ich es als den "helikalen" Fall bezeichnet - oder "Helion". Eine ähnliche Unterklasse existiert für die Synchron-Klasse; daher können helikale Synchrone als die nicht-relativistische Grenze von helikalen Luxonen betrachtet werden.

Photonen gehören zur helikalen Unterklasse.

Der Anteil$η$ist eine feste Eigenschaft des Systems und steht in direktem Zusammenhang mit der Komponente des Drehimpulses$𝐉$neben$𝐏$, die "Helizität" genannt wird, wobei ihr Wert ist$ηc$.

Photonen haben keinen Spin. Sie haben Helizität.

Es ist möglich zu schreiben$𝐉 = 𝐫×𝐏 + η𝐏/M$, Und$𝐊 = M𝐫 - 𝐏t$Aber dieses mal,$𝐫$ist nicht ganz eine echte "Schwerpunktposition". Es ist möglich, es zu reparieren, um es "kanonisch" zu machen, aber nur auf Kosten der Herstellung$𝐫$eine singuläre Funktion der anderen kanonischen Größen$𝐉$,$𝐊$,$𝐏$Und$M$(oder$E$).

Im Spin-0-Fall sind für ein nicht wechselwirkendes System alle kanonischen Größen zeitlich konstant – als Ausdruck der Erhaltungssätze für sie alle. Aber seit$𝐊$explizit zeitabhängig ist, macht seine Konstanz$𝐫$eine Funktion der Zeit:$𝐫 = 𝐫_0 + 𝐯t$, die eine Bewegung in einer konstanten Richtung mit einer konstanten Geschwindigkeit ausdrückt, befindet sich bei$𝐫_0 = 𝐊/M$zum Zeitpunkt$t = 0$, bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit$𝐯 = 𝐏/M$. Also, das Erhaltungsgesetz für$𝐊$ist eigentlich nur das Trägheitsgesetz selbst.

Sie müssen herausfinden, was$𝐫$als Funktion der Zeit aussieht$t$für den Fall von Tardyons mit Spin, wo$𝐓 ≠ 𝟎$.